Репетитор по математическому анализу м. Красные ворота. Найти предел последовательности: If $u_n=\dfrac {1}{1\cdot n}+\dfrac {1}{2 \cdot (n-1)}+\dfrac {1}{3 \cdot (n-2)} + \ldots +\dfrac {1}{n\cdot1}$, then $\lim u_n = 0$.

Этот сайт должен быть использован в качестве бесплатного онлайн-сервиса репетиторства. Выберите тему решении задач, которую вы хотите изучить, и просмотрите примеры. Некоторые задачи, вы можете распечатать.

Используйте занятия с репетитором по математическому анализу на м. Красные ворота. Он  поможет Вам  ответить на вопросы по осуществлению сдаче контрольных, зачета и сессии. Единственный коммерческий аспект сайта является наличие рекламы. Вы не будете платить использовать сайт или просмотреть правильные ответы.

Сайт не является полным на данный момент, но будет расширен. Каждый день  я, репетитор по математическому анализу м. Красные ворота закончу размещаю на сайте новые примеры по разным темам.

Если вы хотите  заниматься на www.uroksite.ru, пожалуйста, нажмите на ссылку ниже и запишитесь на занятие в Москве или по skype.

Найти предел последовательности:

If \(u_n=\dfrac {1}{1\cdot n}+\dfrac {1}{2 \cdot (n-1)}+\dfrac {1}{3 \cdot (n-2)} + \ldots +\dfrac {1}{n\cdot1}\), then \(\lim u_n = 0\).

Подсказка(hint) \((n+1)u_n=(1+\frac {1}{n})+(\frac {1}{2} +\frac {1}{n-1})+....+(\frac {1}{n}+1)\)

Это не самый прямой путь (определенно не так элегантно, как решения обучаемого), а просто еще один возможный маршрут.

Сначала покажем, что \(u_n\) что ограничена сверху \(1\) и снизу \(0\). Оба достаточно просты. Для того, чтобы показать верхнюю границу, обратите внимание , что каждое слагаемое в \(u_n\) есть \(\leq \dfrac1n\) (Почему?).

Теперь действуем следующим образом, как указывает репетитор по математическому анализу на м. Красные ворота

Теперь перейдем к пределу, поменять местами интеграл и суммирование (почему?) и сделать вывод , что вы хотите.< \begin{align} u_n & = \sum_{k=1}^n \dfrac1{k(n+1-k)} = \sum_{k=1}^n \left(\int_0^1 x^{k-1} dx \right) \left(\int_0^1 y^{n-k} dy \right) = \int_{[0,1]^2} y^{n-1} \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{x}y \right)^{k-1} dx dy\\ & = \int_{[0,1]^2} \dfrac{y^n-x^n}{y-x} dx dy \end{align}

Теперь перейдем к пределу, поменять местами интеграл и суммирование (почему?) и сделать вывод , что вы хотите.