10.Интегралы. Решение интеграла вида ∫(tg(x/2))dx.

Интегралы, решения которых представлены ниже, часто дают в качестве самостоятельных задач в технических университетах МАИ, МГТУ им. Баумана, МЭИ, МТУСИ, МАДИ и других.   

Решения интегралов, содержащих тригонометрические функции и  вызывающие трудности у студентов, предоставлены репетитором по высшей математике и математическому анализу Быстровым Александром Анатольевичем.

Как правило, сложность решения интегралов связано с тем, что студенты забыли некоторые простые формулы преобразования тригонометрических функций известные из школьной программы.

1. ∫(tg(x/2))³dx=

В данном примере функцию тангенс в 3-ей степени необходимо представить в виде произведения (tg(x/2))³=(tg(x/2))¹(tg(x/2))². 

=∫(tg(x/2))¹(tg(x/2))²dx=

Далее необходимо воспользоваться формулами для тангенса.

=∫(tg(x/2))¹(sin(x/2)⁄cos(x/2))²dx=∫(tg(x/2))¹((sin(x/2))²⁄(cos(x/2))²)dx=

Вспомним формулу (sin(x/2))² =1-(cos(x/2))²

=∫(tg(x/2))¹((1-(cos(x/2))²)⁄(cos(x/2))²)dx=

 Выражение для дроби заменяем выражением для разности двух дробей                        ((1-(cos(x/2))²)⁄(cos(x/2))²)=(1⁄(cos(x/2))² - 1,

тогда получаем разность двух интегралов .

=∫(tg(x/2))¹((1⁄(cos(x/2))²dx - ∫(tg(x/2))¹dx=

Вспоминаем, что в первом интеграле подынтегральное выражение можно представить в виде, вспоминая таблицу дифференциалов,   ((1⁄(cos(x/2))²dx=2d(tg(x/2)), тогда получаем.

=∫(tg(x/2))· 2d(tg(x/2)) - ∫(tg(x/2))dx=

Воспользовавшись заменой для первого интеграла в виде u=tg(x/2), получим табличный интеграл.

=2∫udu - ∫(tg(x/2))dx=

Первый интеграл решен и имеет вид, как  2∫udu=2u²/2=(tg(x/2))².

=(tg(x/2))² - ∫(tg(x/2))dx+C=

Для решения второго интеграла воспользуемся формулой tg(x/2)=(sin(x/2)/(cos(x/2).

=(tg(x/2))² - ∫(sin(x/2)/(cos(x/2))dx+C=

Из таблицы дифференциалов известно, что sin(x/2)dx=-d(cos(x/2)) .

=(tg(x/2))² -(-1)∫(1/(cos(x/2))d(cos(x/2))+C=

Делаем замену t=cos(x/2).

=(tg(x/2))² -(-1)∫(1/t)dt+C=

Интеграл вида ∫(1/t)dt) является табличным и равен ∫(1/t)dt=lnt.

=(tg(x/2))² +lnt+C=

Производим обратную замену переменной t и получаем ответ.

=(tg(x/2))² +ln(cos(x/2)) +С.

Записаться на занятия с преподавателем по высшей математике и математическому анализу Быстровым Александром Анатольевичем можно здесь,

позвонив по телефону +7-985-761-13-60. 

Занятия проводятся в центре Москвы около станции м Китай-город. 

Отзывы студентов университетов и учеников школ

 Запись на первое занятие с репетитором по математическому анализу