10.Интегралы. Решение интеграла вида ∫(tg(x/2))dx.

Интегралы, решения которых представлены ниже, часто дают в качестве самостоятельных задач в технических университетах МАИ, МГТУ им. Баумана, МЭИ, МТУСИ, МАДИ и других.   

Решения интегралов, содержащих тригонометрические функции и  вызывающие трудности у студентов, предоставлены репетитором по высшей математике и математическому анализу Быстровым Александром Анатольевичем.

Как правило, сложность решения интегралов связано с тем, что студенты забыли некоторые простые формулы преобразования тригонометрических функций известные из школьной программы.

 

1. ∫(tg(x/2))3dx=

 

В данном примере функцию тангенс в 3-ей степени необходимо представить в виде произведения (tg(x/2))3=(tg(x/2))1(tg(x/2))2

 

=∫(tg(x/2))1(tg(x/2))2dx=

 

Далее необходимо воспользоваться формулами для тангенса.

 

=∫(tg(x/2))1(sin(x/2)⁄cos(x/2))2dx=∫(tg(x/2))1((sin(x/2))2⁄(cos(x/2))2)dx=

 

Вспомним формулу (sin(x/2))2 =1-(cos(x/2))2

 

=∫(tg(x/2))1((1-(cos(x/2))2)⁄(cos(x/2))2)dx=

 

 Выражение для дроби заменяем выражением для разности двух дробей                        ((1-(cos(x/2))2)⁄(cos(x/2))2)=(1⁄(cos(x/2))2 - 1,

тогда получаем разность двух интегралов .

 

=∫(tg(x/2))1((1⁄(cos(x/2))2dx - ∫(tg(x/2))1dx=

 

Вспоминаем, что в первом интеграле подынтегральное выражение можно представить в виде, вспоминая таблицу дифференциалов,   ((1⁄(cos(x/2))2dx=2d(tg(x/2)), тогда получаем.

 

=∫(tg(x/2))· 2d(tg(x/2)) - ∫(tg(x/2))dx=

 

Воспользовавшись заменой для первого интеграла в виде u=tg(x/2), получим табличный интеграл.

 

=2∫udu - ∫(tg(x/2))dx=

 

Первый интеграл решен и имеет вид, как  2∫udu=2u2/2=(tg(x/2))2.

 

=(tg(x/2))2 - ∫(tg(x/2))dx+C=

 

Для решения второго интеграла воспользуемся формулой tg(x/2)=(sin(x/2)/(cos(x/2).

 

=(tg(x/2))2 - ∫(sin(x/2)/(cos(x/2))dx+C=

 

Из таблицы дифференциалов известно, что sin(x/2)dx=-d(cos(x/2)) .

 

=(tg(x/2))2 -(-1)∫(1/(cos(x/2))d(cos(x/2))+C=

 

Делаем замену t=cos(x/2).

 

=(tg(x/2))2 -(-1)∫(1/t)dt+C=

 

Интеграл вида ∫(1/t)dt) является табличным и равен ∫(1/t)dt=lnt.

 

=(tg(x/2))2 +lnt+C=

 

Производим обратную замену переменной t и получаем ответ.

 

=(tg(x/2))2 +ln(cos(x/2)) +С.

 

Записаться на занятия с преподавателем по высшей математике и математическому анализу Быстровым Александром Анатольевичем можно здесь,

позвонив по телефону +7-985-761-13-60. 

 

НаименованиеВремяСтоимость 
1

Репетитор по высшей математике 

2 часа от 1500 руб.


Запись

 

Занятия проводятся в центре Москвы около станции м Китай-город

Отзывы студентов университетов и учеников школ

 Запись на первое занятие с репетитором по математическому анализу

Популярные репетиторы:

Рейтинг 5 из 5: 45 отзывов
 
C самого начала своего продвижения по службе, я грезил собрать вместе два моих основных страстей: Математику, Информатику и Обучение, когда еще учился в аспирантуре.

Профессиональный математик для студентов и школьников, PhD, педагогический стаж более 16 лет, неотложно   подготовит без посредников к вступительному экзамену в ВУЗ по математике в 11 класс с помощью конфиденциальных способов по усовершенствованию памяти и   мышления. 

Консультирование по математическим программам MathLab, SPSS и Mathematica . Впечатляюще потрудился по науке в интернет-компании по Data Science и Machine Learning. Участвует в международных академических симпозиумах ICCV, CIKM и KDD . С легкостью "кодит" на C/C++, R и Clojure.

Более 320 учащихся  поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: ВШЭ, ФИ, МАИ и МЭИ и многие другие. Занятия ведутся по Viber и локально в Москве м. Китай-город. Опыт репетитора по математике для аспирантов более 20 лет. 他說中國.

Запись на занятия

Ваше сообщение отправлено