Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Решение задач с репетитором по высшей математике Барковым Александром Анатольевичем.

Задачи по аналитической геометрии на тему "Прямые и плоскости", решение которых представлено ниже,  даются студентам первых курсов на первом семестре в качестве самостоятельной обязательной работы в МГТУ им Баумана.

Задача 1. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a и b.

a=m+2n, b= 3m-2n,

|m|=1, |n|=1, угол между векторами (m^n)=pi/4.

Решение:

Решение данной задачи предоставлено  репетитором по высшей математике Быстровым Александром Анатольевичем .

Площадь треугольника вычисляем по формуле

половинного модуля от векторного произведения двух геометрических векторов, образующих треугольник.

S=(1/2)|a х b|=(1/2)|(m+2n) х (3m-2n)|

Раскрываем векторное произведение, учитывая из его свойств, что 

m х m=0 ,

m х n= - (n х m) .

Площадь треугольника тогда равна

 S=(1/2)|a х b|=(1/2)|(m+2n) х (3m-2n)|=

=(1/2)|(3m х m -2m х n+6n х m-2n х n)|=

 =(1/2)|( -2m х n+6n х m)|=(1/2)|( -8m х n)|=

=8(1/2)|m| * |n|*sin(m^n)=4*1*1*sin(pi/4)=2*(2)^1/2.

Ответ: площадь треугольника равна  S=2*(2)^1/2.

 Задача 2.

Составить уравнение плоскости, содержащей  точки А, В, С .

Точки, образующие плоскость имеют следующие координаты 

А(1,4,-3), В(0,3,-2), С(3,5,1).

Решение :

Решение задачи 2 предоставлено репетитором по высшей математике, линейной алгебре и аналитической геометрии Быстровым Александром Анатольевичем :

Запишем уравнение плоскости, как уравнение. Определитель равен нулю.

  |x - 1    y - 4      z - (-3)    |

  | 0-1     0-1        -2 +3      | =0

  | 3+1    3+1      1 +3        |

Определитель такой матрицы должен быть равен нулю: 

=0.

 Решая определитель матрицы по стандартной методике, получаем уравнение плоскости в виде 

 (x-1)(-1*4-1*1)-(y-4)*(-1*4-2*1) +(z+3)(-1*1-(2*(-1))=0,

и после вычислений получаем

(x-1)(-5)-(y-4)(-6) +(z+3)1=0

 В окончательном виде уравнение плоскости запишем 

-5x+6y +z -16=0.

Делаем проверку, подставляя в уравнение плоскости координаты

точек A, B, C.

Ответ: -5x+6y +z-16=0

Задача 3. Найти расстояние от точки  D( -1, 2, 5)до плоскости -5x+6y +z-16=0.

Решение:

Решение задачи 3 представим репетитором по высшей математике, линейной алгебре и аналитической геометрии Быстровым Александром Анатольевичем:

Исходное уравнение плоскости имеет вид Аx+Вy +Сz+D=0.

У нас уравнение  плоскости  -5x+6y +z-16=0. Следовательно, коэффициенты А=-5, B=6, С=1  и D=-16/ 

 Запишем расстояние   d от точки  D( -1, 2, 5)до плоскости

-5x+6y +z-16=0  в виде

 d=|A*x₁+B*y₁+C*z₁+D|/(A²+B²+C²)^1/2

 Подставляем в эту формулу значение оэффициентов, координаты нашей точки и получаем ответ.

Ответ: Расстояние равно d= 3*(2/31)^(1/2).

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку М₀ (x₀=-3, y₀=1, z₀=-1) перпендикулярно двум плоскостям Р₁

0*x+1*y-2*z=0

и Р₂

1*x+0*y-5*z-2=0.

Решение:

Предоставим решение задачи 3 с репетитором по высшей математике, линейной алгебре и аналитической геометрии Быстровым Александром Анатольевичем.

Запишем уравнение плоскости, как уравнение. Определитель матрицы, составленной, как показано ниже, равен нулю.

|x - x₀ y - y₀ z -z₀|

| A₁ B₁ C₁ | =0

| A₂ B₂ C₂ |

где коэффициенты A₁ , B₁, C_1, A₂, B₂, C₂ соответственно нормальные векторы плоскостеq Р₁

A₁*x₁+B₁*y₁+C₁*z₁+D=0

и Р₂

A₂*x₁+B₂*y₁+C₂*z₁+D=0 .

У нас эти коэффициенты равны соответственно

A₁ =0, B₁=1 ,C₁=-2 , A₂=1, B₂=-5, C₂= 1.

Запишем уравнение плоскости, как определитель матрицы, составленной, как показано ниже. Этот определитель равен нулю.

|x +3 y - 1 z - (-1) |

| 0 1 -2 | =0

| 1 -5 1 |

Решая определитель матрицы по стандартной методике, получаем уравнение плоскости в виде:

-9x-2y -z - 26=0.

Делаем проверку. Подставляем в уравнение плоскости координаты точки М0

-9*(-3)-2*1 - (-1) - 26=0

27 - 2 +1 - 26=0. Делаем проверку перпендикулярности плоскости, проходящей через точку, двум плоскостям.

Ответ: Уравнение плоскости получаем в виде

-9x-2y -z - 26=0.