Репетитор по математическому анализу метро Университет.Как найти производную $f(x)=\int_0^{x^2}e^{xt^{-2}}dt$

Репетитор по математическому анализу на станции метро Университет готов осуществить помощь в подготовке к контрольным, зачетам и экзаменам.

Репетитор по математическому анализу на метро Университет года решит проблемы по решению задач на пределы, производные , построение графиков, интегралы, дифференциальные уравнения.

С наступлением контрольных недель у студентов начинают образовываться учебные задолжности из-за неумения решать сложные примеры. При этом, если студент вовремя обратится к репетитору по математическому анализу - университет- он может полностью подготовится и успешно заниматься в университете.

Как найти производную \(f(x)=\int_0^{x^2}e^{xt^{-2}}dt\)

Let \[f(x)=\int_0^{x^2}e^{xt^{-2}}dt\] Для нахождения производной \[f'(x)\]

я попытался сначала использовать разложение в ряд Тейлора: \[e^{xt^{-2}}=\sum_{n=0}^\infty \frac {x^nt^{-2n}} {n!}\] Неопределенный интеграл (Indefinite integral) дает, \[\int e^{xt^{-2}}dt=\int\sum_{n=0}^\infty \frac {x^nt^{-2n}} {n!}dt=\sum_{n=0}^\infty\int \frac {x^nt^{-2n}} {n!}dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^nt^{-2n+1}} {(-2n+1)n!}\] Следовательно, \[f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{-3n+2}} {(-2n+1)n!}\] Таким образом,\[f'(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-3n+2)x^{-3n+1}} {(-2n+1)n!}\]

И я застрял здесь. Можете ли вы дать мне несколько советов, чтобы действовать дальше? На самом деле, я даже не уверен, что я сделал до сих пор является правильным. Кроме того, есть лучший способ решить эту проблему (без использования расширения Taylor)?

Это связано с базовой теоремой анализа

Применим ее

\[I=\int_0^{a(x)} f(x,t) \, dt\]

получим

\[\frac {dI}{dx}=a'(x) f(x,a(x))+\int_0^{a(x)} f'_x(x,t) \, dt\]

Применительно к данному случаю

\(a(x)=x^2\), \(f(x,t)=e^{x t^{-2}}\) this gives \[\frac {dI}{dx}=2 x e^{-\frac{1}{x^3}} - \int_0^{x^2}\frac{e^{-\frac{x}{t^2}}}{t^2}\,dt=2 x e^{-\frac{1}{x^3}}-\frac{\sqrt{\pi }x^{3/2} \left(1- \text{erf}\left(\frac{1}{x^{3/2}}\right)\right)}{2 x^2}\] \[\frac {dI}{dx}=2x e^{-\frac{1}{x^3}}-\frac{\sqrt{\pi }\, \text{erfc}\left(\frac{1}{x^{3/2}}\right)}{2 \sqrt{x}}\]

используя правило Лейбница для интеграла (Leibniz integral rule,)

\[f'(x)=\int_0^{x^2}e^{xt^{-2}}t^{-2}dt+e^{x (x^2)^{-2}}2x\]

Производная или ( anti-derivative) существует, но она бесконечна при 0.