Репетитор по математическому анализу м. Савеловская. Найти предел-$$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2^{-n^2}}{\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} 2^{-k^2}}$$

Репетитор по математическому анализу м. савеловская поможет студентам справится с решением сложных задач на пределы, построение графиков.
Здесь репетитор по математическому анализу м. савеловская предлагает 
найти следующий предел
\(\lim\limits_{n \to \infty}\frac{2^{-n^2}}{\sum\limits_{k=n+1}^{\infty} 2^{-k^2}}\)

Заметим, что данное выражение можно переписать в виде:
\[\frac{2^{-n^2}}{\sum_{k=n+1}^{\infty} 2^{-k^2}}=\frac{1}{\sum_{k=n+1}^\infty2^{-k^2+n^2}}\]
Известно, что 
\(\sum_{n=1}^\infty2^{-n}=1\) .
Заметим, репетитор по математическому анализу савеловская сообщает, что разность
 \(n^2-(n+1)^2\)
может быть больше  \(n\).
Следовательно, для любого \(N\) существует \(n\) такое, что
\(\sum_{k=n+1}^\infty2^{-k^2+n^2}\leq\sum_{i=N}^\infty2^{-i}.\)
Из конвергениции  RHS известно ,что для каждого
\(\varepsilon>0\) существует \(N(ε)\) такое, что \(\sum_{i=N(ε)}^\infty2^{-i}<ε\)
Из этого можно заключить, что предел бесконеченый.