Репетитор по математическому анализу м. Белорусская. Найти предел последовательности :$u_0=0, u_{n+1}=a-u_n^2=f(u_n)$ с $a\leq \dfrac{3}{4}$.
Репетитор по математическому анализу м. Белорусская обладает возможностью заниматься со студентами по подготовке их к зачетам, экзаменам. Плановые занятия по решению задач на дифференцирование и интегрирование сложных функций помогут снять проблемы с контрольными.Репетитор по математическому анализу м. Белорусская, обладающий более, чем 20-ти летним педагогическим стажем и практикой работы с учащимися университетов Москвы, делает возможным 100%-м овладением предметом.
Найти предел последовательности(sequence):
\(u_0=0, u_{n+1}=a-u_n^2=f(u_n)\) с \(a\leq \dfrac{3}{4}\).
Можно показать, что :
- \(u_{n+1}\leq a\) и \(u_{n+1}\geq a-a^2\geq 0\Rightarrow 0<u_n<a\) \(\forall a>1\)
- \(f'(x)=-2x<0\) \(\forall x>0\), с другой стороны \(0=u_0<u_2\), so \(\{u_{2n}\}\) есть возрастающая последовательность и \(\{u_{2n+1}\}\) является убывающей последовательностью
- so \(\lim u_{2n}=A\), and \(\lim u_{2n+1}=B\) \((0\leq A,B\leq a\)),
Но как долказать, что \(A=B\) ?
Если \(u\) является пределом, это должно удовлетворять \(u=a-u^2\)
Заметим, что
\(2\)-циклов существует если \(f(f(x))=x\) имеет по крайней мере два различных корня(distinct roots) (и даже три , но забудем это), где \(f(x)=a-x^2\). Так \(f(f(x))=x\) обозначает \(g(x)=0\) с \(g(x)=x^4-2ax^2+x+a^2-a\).
The sign of \(g''(x)=4(3x^2-a)\) is clear и условие
\(a\leqslant\frac34\)
гарантия точно \(g'(x)\geqslant0\) в точке, где \(g''(x)=0\), что есть, где \(g'\) является минимальным.
Таким образом, Репетитор по математическому анализу м. Белорусская показывает, что
\(g'\geqslant0\) on \((0,a)\) hence \(g\) has at most one root. Snce \(A=f(B)\) and \(B=f(A)\), this proves that \(A=B\), qed. Предполагая корректность ваших вычислений (в противном случае остальное не имеет места ( the rest does not hold), тогда необходимо \(0< A,B< a\) и из-за \(a<1\) знаем,что \[0< A^2,B^2< a \tag{*}\] Тогда для \(n\in \mathbb N\) имеем \[u_{2n}^{\phantom{1}}=a-u^2_{2n-1}=a-(a-u^2_{2(n-1)})^2\] берем предел \[A=a-(a-A^2)^2\tag1\] В то же самое время получили \[B=a-(a-B^2)^2\tag2\] Считая,что \(B\neq A\) и учитывая \((2)-(1)\) to get a contradiction:
\begin{align}B-A&=(a-A^2)^2-(a-B^2)^2=(B-A)(B+A)(2a-A^2-B^2) \\[0.3cm] \iff \hspace{20pt} 0&=(B+A)(2a-A^2-B^2)\\[0.3cm]\iff \hspace{20pt} 0 &=A+B \quad\text{ or }\\[0.3cm]0&=(a-A^2)+(a-B^2)\end{align}
a contradiction since by \((^*)\) both \(A^2,B^2\) are less than \(a\) and greater than \(0\).
