Репетитор по математическому анализу александровский сад. как рассчитать такой предел: $$\lim_{x \to \infty }\left(\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^x $$

Репетитор по математическому анализу метро александровский сад готов со студентами проводить занятие по объяснению сложшых задач на пределы, интегрирование, дифференцирование, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, линейную алгебру, аналитическую геометрию.

После планомерных занятий с репетитором по математическому анализу - метро александровский сад все учащиеся университетов успешно сдают зачеты и сессию, получают на экзаменах хорошие и отличные оценки.

Репетитор по математическому анализу метро александровский сад спрашивает студентов, как рассчитать такой предел:

\[\lim_{x \to \infty }\left(\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)^x \]

Можно попробовать разложить его в ряд Тейлора.

Предположим, что предел существует и равен \(L\). Тогда репетитор по математическому анализу александровский сад

предполагает, что

\(\log{L} = \lim_{x\to\infty} x \log{\left [ \frac{1}{e} \left ( 1+\frac{1}{x}\right)^x\right]} =\lim_{x\to\infty} x \left [ -1 + x \log{\left ( 1+\frac{1}{x}\right)}\right]\)

Разложение репетитором по математическому анализу александровский сад по Тейлору функции log по \(x\):

\(\log{L} = \lim_{x\to\infty} x \left [-1 + x \left (\frac{1}{x} - \frac{1}{2 x^2} + \cdots\right)\right]= -\frac12\)

Следовательно, \(L=e^{-1/2}\).