Репетитор по математическому анализу м. Черкизовская. Найти предел:$\lim_{\alpha \to \infty} e^{-t\sqrt{\alpha}}\left(1-\frac{t}{\sqrt{\alpha}}\right)^{-\alpha} = e^{t^2 / 2}?$

Репетитор по математическому анализу черкизовская позволит студенту устранить пробелы в лекционном материале
 Репетитор по математическому анализу м. Черкизовская объясняет и помогает  решать примеры на пределы, дифференцирование и интегрирование функций, ряды , дифференциальные уравнения.

Здесь мы с репетитором по математическому анализу черкизовская разберем нахождение  следующего интересного предела.

Найти предел:

\(\lim_{\alpha \to \infty} e^{-t\sqrt{\alpha}}\left(1-\frac{t}{\sqrt{\alpha}}\right)^{-\alpha} = e^{t^2 / 2}?\)

Это по существу доказательство,  что гамма распределение в пределе стремится к нормальному стандартному распределению при \(α → ∞\).

Предлагается здесь использовать численные методы , чтобы найти этот предел , но я,репетитор по математическому анализу черкизовская, хотел бы знать , если существует хороший способ решить эту проблему по-другому. Я попробовал правило Лопиталя, но получил \(е^t\), Что, очевидно, неверно.

Начать с  \(exp/log\) процедуры, тогда предел записывается в виде:

\[\exp\left(\lim_{\alpha\to\infty}-t\sqrt\alpha+\alpha\log\left(1+{-t\over\sqrt\alpha}\right)\right).\]

Значит \(\beta=\alpha^{-1}\).

\(\exp\left(\lim_{\beta\to 0^+}-t\beta^{-1/2}-\beta^{-1}\log\left(1+(-t\sqrt\beta)\right)\right).\)

Теперь здесь мы можем использовать ряд Маклорена \(\log(1+x)\) since we're going to \(0\). We get

\(\exp\left(\lim_{\beta\to 0^+}-t\sqrt\beta^{-1/2}-\beta^{-1}(-t\sqrt\beta-{t^2\beta\over 2}+O(\beta^{3/2})\right).\)

Единственный элемент , который не обращается в нуль,сообщает репетитор по математическому анализу на м. черкизовская, является \({t^2\over 2}\) so поэтому мы получает, как результат.