Подготовка учащихся олимпиадам информатике. Задача 7. Сколько последовательностей {a1, a2, …, a8}, состоящих из +1 и –1, обладают тем свойством, что a1 + a2 + … + a8 = 0, а все их частичные суммы a1, a1 + a2, …, a1 + a2 + … + a8 неотрицательны?

Подготовка учащихся олимпиадам информатике

Задача 7 (8 баллов). Сколько последовательностей {a1, a2, …, a8}, состоящих из +1 и –1, обладают тем свойством, что a1 + a2 + … + a8 = 0, а все их частичные суммы a1, a1 + a2, …, a1 + a2 + … + a8 неотрицательны?

Решение задач 7.Подготовка учащихся олимпиадам информатике.
Первый способ. Задачу можно решить методом полного перебора, который дает следующие 14 вариантов:
+1+1+1+1-1-1-1-1, +1+1+1-1+1-1-1-1, +1+1+1-1-1+1-1-1, +1+1+1-1-1-1+1-1, +1+1-1+1+1-1-1-1, +1+1-1+1-1+1-1-1,
+1+1-1+1-1-1+1-1, +1+1-1-1+1+1-1-1, +1+1-1-1+1-1+1-1, +1-1+1+1+1-1-1-1, +1-1+1+1-1+1-1-1, +1-1+1+1-1-1+1-1,
+1-1+1-1+1+1-1-1, +1-1+1-1+1-1+1-1.
Второй способ. Можно показать, что количество последовательностей, удовлетворяющих условию задачи, определяется
четвертым числом Каталана. Само число Каталана выражается формулой C(n) = (2n)!/n!/(n+1)!. C(4) = (2⋅4)!/4!/(4+1)! =
(8)!/4!/(5)! = 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8/1⋅2⋅3⋅4/1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 5⋅6⋅7⋅8/1⋅2⋅3⋅4⋅5 = 7⋅2 = 14.
Ответ: 14.

Популярные репетиторы:

Рейтинг 5 из 5: 45 отзывов
 
C самого начала своего продвижения по службе, когда еще учился в аспирантуре, я грезил собрать во едино пару моих основных интересов: Математику, Информатику и Обучение.

Умелый математик для школьников и студентов, PhD, педагогический стаж более 15 лет, с быстротой   подготовит к региональному экзамену в институте по математике в 11 класс с помощью особо успешных способов по формированию памяти и   умственной работы . Помогает в написании работ:контрольных.

Впечатляюще потрудился директором в стартапе по Перцептронам и Data Mining. На досуге "кодит" на Node, Scala и Ruby. Участвует в международных академических конференциях ICML, ICCV и ACL . Консультирование по математическим пакетам JupyterLab, Maxima и MathCad .

Занятия проводятся по Skype и  в Москве м. Китай-город. Опыт репетитора по высшей математике для абитуриентов более 20 лет. Более 320 учащихся  поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: МГУ, МАИ, ФИ и ВШЭ и многие другие. 他說中國.

Запись на занятия

Ваше сообщение отправлено