15.Решите неравенство $\frac{9^{ x} -2 \cdot3^{x+1} + 4}{3^x-5}+\frac{2\cdot3^{x+1}-51}{3^x-9} ≤ 3^{x}+5$
15.Решите неравенство: \(\frac{9^{ x} -2 \cdot3^{x+1} + 4}{3^x-5}+\frac{2\cdot3^{x+1}-51}{3^x-9} ≤ 3^{x}+5\) .Решение. Пусть \(t = 3^{x}\) , тогда неравенство примет вид:
\(\frac{t^{2} -6 \cdot t + 4}{t-5}+\frac{6\cdot t-51}{t-9}≤ t+5\) ;
\(\frac{(t -1)( t -5)}{t-5}+\frac{6\cdot t-51}{t-9} =t+5\) ;
\(\frac{(t -3)}{(t-5)(t-9)}≤0\) ;
откуда \(t ≤ 3\); \(5< t <9\) .
При \(t ≤ 3\) получим: \(3^{x} ≤3\), откуда x≤ 1. При \(5< t <9\) получим: \(5 < 3^x< 9\) , откуда \(log_{3} 5 < x < 2\) .
Решение исходного неравенства: \(x ≤ 1\);
\( log_{3} 5< x < 2 \).
Ответ: \((-∞;1];(log_{3} 5; 2)\) .
