Глава 2. Элементы математической статистики

§1. Генеральная совокупность и выборка.
Постановка задач в теории, вероятностей и. математической статистики отличаются друг от друга, хотя они отражают одни и те же закономерности присущие массовым явлениям.

В теории вероятностей основную роль играет случайная величина X и закон её распределения.

В теории математической статистиодело имеют со статистическими данными, которые сначала надо обработать и привести к схеме, -где возможно применение методов теории вероятностей.

Например, требуется обследовать большой коллектив рабочих одной и той же профессии. Из-за трудоемкости всей работы делается выборочное исследование части этого коллектива.

:3есь коллектив при этом называется генеральной совокупностью, а выделенная для обследования часть коллектива называется выбором. ■ ной совокупностью.

. Отношение объема выборочной совокупности к. к объему генеральной совокупности А/ ,т.е. называется относительным

показателем выборки.

Любое выборочное наблюдение, как правило, не дает точные характеристики всей генеральной совокупности. Поэтому каждый результат, вычисленный по данным выборки, имеет некоторую погрешность. Эта погрешность называется ошибкой репрезентативности.

Рассмотрим на примере систематизацию полученных данных.
Таблица I.I
Размер обуви X т1исло проданных пар и- /частота/ Частотность Ч ; "
х, =36 I р, =0,013
х=37 I Р*=0,013
Ь Рз=0,063
=39 ■8 ~Рч=0,101
хг=40 17 ' Р$-=0,215
Xt =41 21 рс=0,266 -
х, =42 13 р, =0,223
Xg =43 3 Pi=0,101
z 79 I

Пример I. При регистрации размеров продаваемой магазином мужской обуви были получены следующие данные о 79 покупках,которые были сведены в таблицу I.I по .возрастающему значению признака / размера обуви /.
В таблице I.I введены значения X; случайной величины и соответствующие им частотности, которые аналогичны вероятностям.

Определение I. Различные значения признака /размера обуви/, наблюдающиеся у членов совокупности, называются вариантами, а числа, показывающие сколько раз встречается каждый вариант - их частотами.

Каждому варианту / х;/ можно поставить в соответствие не только частоту / я[ /, но и отношение соответствующей частоты к ооъему совокупности / ^ /. Эти числа / Hi / называются частотностями. *г"

Частоты или частотности вариантов называются их весами.

Определение 2. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания или убывания ряд вариантов с соответствующими им весами.

Вариационный ряд распределения по размеру 79 пар проданной обуви представлен в таблице I.I

Вариационные ряды могут быть дискретными, если значения.вариантов дискретны и непрерывными.

......стр.40

Пример 2. Построение вариационного ряда распределения. Обследовано 1000 мужчин. Максимальный рост 188 см.;минимальный 144 см. Для простоты вычисления все мужчины разбиты на . 15 групп через равный интервал в^ см.Число мужчин /частота/ с ростом в заданном интервале обозначен#^через .Данные сведены в таблицу 1.2*
Рост середина интервала X Число муж-чин/частота/л i - Частотность р. = ^ ,*--ЮОО
143-146 х, =144,5 I р,-, =0,001
146-149 Xj_=I47,5 2 pt=0,002
149-152 х^=150,5 8 р3 =0,008
I52-155 - хч=153,5 26 ps=0,026
155-158 хс=156,5 65 рг=0,065
I58-I6I Хс =159,5 120 р4 =0,12
I6I-I64 х^. =162,5 I8X р,=0,181
164-167 Xj =165,5 201 р,=0,201
167-170 . х,=168.5 170 р,=0,17
170-173 x,0=I7I,5 120 Pic=0,I2
173—176 х„=ф74,5 64 р„=0,064
176-179 xu=I77;5 28 Р(1=0,028
179-182 ■x„=I80,5 10 P(i=0,0I
182-185 х,у=183,5 3 р,ч=0,003
18.5—188 x,^=I86,5 I Рк=0,001
Итого 1000 Итого I

Переводя на язык теории вероятностей, получен ряд распределения случайной величины X со значениями £х,,хД)..и соответствующими "вероятностями" ]_р, .Pt» • • • *P,rJ*

Графическое изображение вариационного ряда соответствует графическому изображению дискретной случайной величины / многоугольник распределения / и называется полигоном распределения.

Пример 3. Построим полигон распределения по вариационному ряду таблицы I.I.

/см.рис.1.1 /