§12. Случайные величины.

Случайной величиной называется переменная X , которая
может принимать различные значения в зависимости от исходов испыта-
ния. Случайные величины могут быть дискретные и непрерывные.

I. Дискретная случайная величина.

Случайная величина X называется дискретной, если она при-
нимает конечное или счетное множество различных значений

{x₁,x₂,...x_n}

 с соответствующими  вероятностями  p_i

{p(x₁),p(x₂),...p(x_n)} 

.

Закон распределения дискретной случайной величины задается в
виде конечной или бесконечной таблицы;

в которой значения х_i располагаются в строго возрастающем порядке.

Сумма всех соответствующих этим значениям вероятностей равна I,
т.к. все возможные значения случайной величины представляют полную
систему событий,то есть 

       \begin{equation} \sum\limits_{i=1}^n p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{n} =1 \end{equation}

2.Примеры законов распределения дискретной случайной величины.

Пример I. Составить закон распределения числа попаданий в цель
при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстре¬
ле равна 0,1.

Решение. Случайная величина X / число попаданий по мишени /
может принимать пять различных значений: 0, I, 2, 3, 4. Соответству-
ющие вероятности находятся по формуле Бернулли:

р₄(0) = (0,9)⁴ = 0,6561 ;

 р₄(1) =4· 0,1·(0,9)³ = 0,2916 ;

  р₄(2) =6· 0,1²·(0,9)² = 0,0486 ;

 р₄(3) =4· 0,1³·0,9 = 0,0036 ;

 р₄(4) =1· 1·(0,1)⁴ = 0,0001 ;

Закон распределения случайной величины X имеет вид:

График, соответствующий закону распределения, называется мно¬
гоугольником распределения-случайной величины. Для рассмотренного
примера многоугольник 'распределения представлен на рис.12.1.

Рис.12.1    '

Пример 2. Биноминальное распределение случайной величины опре¬
деляется формулой Бернулли

  P_n (m) =  C  _n^m p ^m  q ^n-m  ,   m=0,1,2,...,n

    \begin{equation} \sum\limits_{i=1}^n p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{n} =1 \end{equation}

Пример 3. Распределение Пуассона

\begin{equation} P_{n}(m) =\frac{λ^{m}}{m!}e^{-λ} \end{equation}

 λ>0  , k=0,1,2,...

     \begin{equation} \sum\limits_{i=1}^n p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{n} =1 \end{equation}

3.Непрерывная случайная величина.

Случайная величина X называется непрерывной, если она принимает
 все значения непрерывно из некоторого множества  {X}

В этом случае, соответствующие вероятности значений непрерывной
случайной величины X определяются функцией р(x)которая называется
плотностью распределения вероятностей.

Суммированию по всем значениям вероятностей дискретной случай-
ной величины для непрерывной случайной величины соответствует ин-
тегрированию по всей области  {X}

    \begin{equation} \sum\limits_{i=1}^n p_{i} =1 \end{equation}

Закон распределения непрерывной случайной величины определяется
плотностью распределения вероятностей \(р(x)\) .

 рис.12.2

Площадь заштрихованной области на графике области /рис.12.2/ равна I.

 \begin{equation} \int\limits_{-∞}^{∞}p(x)\,dx=\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{(b-a)}\,dx=1 \end{equation}

2. Нормальное распределение или закон Гаусса ( рис. 12.3)

 \begin{equation} p(x) =\frac{1}{σ(2π)^{ \frac{1}{2}}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2σ^2}} \end{equation}

\begin{equation} \int\limits_{-∞}^{∞}p(x)\,dx =1 \end{equation}

σ и a  параметры распределения,     a - произвольное число,    

рис.12.3

Закон нормального распределения имеет огромное значение в силу своей универсальности. Uo этому закону распределяются скорости молекул газа /распределение максвелла/,случайные величины при стрельбе, в экономике, социологии и т.д.

Точка х=a  характеризует центр распределения или рассеивания вероятностей. Параметр σ характеризует ширину рассеивания случайной величины относительно центра рассеивания.

 \begin{equation} p(x) =λe^{-λx}, x> 0 \end{equation}

 \begin{equation} p(x) =0, x≤0 \end{equation}

   Параметр λ>0 .