§7. Метод наименьших квадратов.

Пусть задана таблица значений переменных х и у :

Табл.7.1

и точки расИолаРаются вблизи прямой линии /рис.7Л /

Рис.7.1

Подберем коэффициенты линейной функции изходя из критериев метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов основан на том, что из данного множества формул вида /в нашем случае / наилучшим образом изображающей данные значения считается та, для которой сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от вычис¬ленных является наименьшей.

Следовательно, коэффициенты линейной функции ^ = йУ+-^ нужно подбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений вычисленных значе¬ний &У; ьё от наблюдаемых , т.е. величина принимала наименьшее значение.

Сумма и

является функцией двух переменных ft, ь , минимум которой определя*- ется из условий:

Найдем частные производные: Ц

Приравнивая полученные частные производные к нулю, получаем систему"двух линейных уравнений для определения Л,

Рёш^я систему (£7.1) получим " '

Пример. 

.Опытные данные о значениях х и у представлены таблицей:

17.2)

Полагая, что х и у связаны линейной

Полагая, что х и у связаны линейной зависимостью ^ -й. V.+ @ определить методом наименьших квадратов 0. и @ .

Решение. Коэффициенты Q./ в находятся по формулам (7.2), Для вычисления

сумм .входящих в эти формулы составим таблицу

Решение. Коэффициенты Q._/ в находятся по формулам (7.2), Для вычисления сумм .входящих в эти формулы составим таблицу

Подставляя данные из таблицы подсчетов, получим:

ф 1 и "'ГПодставляя данные из таблицы подсчетов, получим:

Таким образом, искомая зависимость между х и у приближенно равна:

(7.3)

Функция(7.3)изображена графически на рис.7.2 Sflo

Р)ДС. ?. 2.