§8. Линейная корреляция.

Этот вид связи является одним из важнейших,так как многие корреляционные связи близки к линейным.

Данные корреляционной таблицы, связывавшей х и у, используются для отыскания параметров уравнений прямых регрессий:

Пример.8.1 Найти уравнение прямых регрессий по данным таблицы распределения растений житняка по общему весу растения х и по весу семян у /см.пример 1,§6 /. Решение. По методу наименьших квадратов параметры прямой определяются формулами (7.2) .. Однако, эти выражения получены в

предположении, что пары х и у связаны однозначным соответствием,

; Наши данные статистические и имеют принципиально другой характер, когда одному значению х может соответствовать несколько значений у, и наоборот. Поэтому суммы в Формулах (7.2)нужно заменить на соответствующие суммы с соответствующими весами, например,суммирование по

** :. 2L *1 -*> X" 2Г*4; X; * ■ i u i, 1

Точные выражения, которые получаются после такой замены приведены в §22

Вычислений по этим, точным формулам приво- дят к весьма громоздким выражениям. Однако, ситуация существенно упрощается, если принять во внимание закон больших чисел. При достаточно большом vl выполняются следующие приближенные равенства: а/ Математическое ожидание заменяется средней арифметической:

М(х.) = £ * хг =•*■ 4*1 u

б/ Аналогично для дисперсии: ^ г ^

С*/ = * и ? ' (.8.1) я{у*)-лЬ) - и '(Зf

в/ Для так называемого корреляционного момента:

сШф ~ I £ * -*f

Полученные выражения позволяют длч нахождения параметров линейной регрессии пользоваться формулами (7.2), которые можно переписать в виде:

а/ для уравнения прямой регрессии у по х {

или

где *1* и - называется "коэффициент корреляции:

а- I,- --

А <Г„ СЧ

/ для уравнения прямой регрессии х по у;

х'с3

Выражения X

ИЛИ

*з Г. Cv5) (И) ; 3 ; ^

женными формулами (3.1) .

Продолжим решение примера., используя формулы (8.1) и(8.2 )

Составим расчетную таблицу, исходя из данных табл.6.3.

прибли-

определяются прибли- *