Решение задач
Привести к каноническому виду общие уравнения прямой l
Привести к каноническому виду общие уравнения прямой l.
Задача представлена репетитором по высшей математике Быстровым Александром Анатольевичем.
Прямая задана общими уравнениями, которые представляют систему двух уравнений
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
По условию задачи имеем коэффициенты равными
A1=2, B1=0, C1=-3, D1=2 ,
A1=0, B1=1, C1=5, D1=-1 .
Решение:
По существу данная система уравнений представляет два уравнения для плоскостей Р1 и Р2. Данные плоскости имеют соответственные нормальные векторы N1 и N2 , то есть перпендикулярные к этим плоскостям. Причем координаты векторов определяются коэффициентами уравнений N1(A1,B1,C1) N2(A2,B2,C2).
Необходимо составить уравнения в каноническом виде
|
x-x0
|
= |
y-y0
|
= |
z-z0
|
|
l
|
m
|
n
|
или
|
x-x0
|
= |
y-y0
|
= |
z-z0
|
|
x1-x0
|
y1-y0
|
z1-z0
|
1) Находим координаты точки М(x0,y0,z0), которая лежит на прямой l. Положим z0=0 и запишем систему исходных уравнений для прямой l , положив в них z=0:
2x+0y+(-3)·0+2=0
0x+1y+5·0+-1=0
Решим эту систему уравнений и получим x0=-1, y0=1 .
То есть мы нашли координаты точки М (x0=-1,y0=1,z0=0).
2) Нам необходимо определить координаты направляющего вектора N(l,m,n). Тогда уравнение прямой в каноническом виде имеет вид:
|
x-x0
|
= |
y-y0
|
= |
z-z0
|
|
l
|
m
|
n
|
3)Составляем направляющий вектор N(l,m,n). Он находится, как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, которые при пересечении образуют линию l, из исходной системы уравнений
Записываем векторное произведение, как определитель по тройке векторов i, j, k:
N=N1xN2=
| i | j | k |
| A1 | B1 | C1 |
| A2 | B2 | C2 |
=li+mj+nk
Подставляем наши значения:
N=N1xN2=
| i | j | k |
| 2 | 0 | -3 |
| 0 | 1 | 5 |
=(0·5-(-3)·1)i-0·(2·5-0·(-3))j+(-3)·(2·1-0·0)k=3·i+0·j+(-6)·k
То есть нашли вектор N(l=3,m=0,n=-6).
4) Записываем уравнение нашей прямой l в каноническом виде:
|
x-(-1)
|
= |
y-1
|
= |
z-0
|
|
3
|
0
|
-6
|
.Итак, мы привели к каноническому виду общие уравнения прямой.
