5.3 Медианы, высоты и биссектрисы в треугольнике.

Медианы треугольника, делящие, по определению, его стороны пополам, пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Медиана, проведенная к данной стороне, вычисляется из равенства параллелограмма (см. п. 5.2), построенного на этой стороне и удвоенной медиане8^ как на диагоналях (рис. 10):

\(с2 + (2т)2 -2а2 + 2Ь2\).

Биссектрисы треугольника, делящие, по определению, его углы пополам, пересекаются в одной точке — центре вписанной окруж¬ности.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сто¬рону в отношении прилежащих сторон (рис. 11)

\(х : у = а : b\)

Медиана продлевается на свою длину за середину стороны.

\(I2 = ab — ху\).

Рис. 10

Рис. 11

Высоты треугольника, т. е. перпендикуляры к его сторонам, пересекаются в одной точке.

Они используются, прежде всего, при вычислении площадей (см. п. 5.1).

Пример.

Медианы \(AM\) и \(BN\) треугольника \(АВС\) взаимно перпендикулярны.

Найти \(АВ\), если \(ВС = а\) и \(АС = 6\).

Решение. См. рис. 12:

С Рис. 12

1) \(МК = х\), \(NK = у\) =>

\(АК — 2®, ВК = 2у\) (свойство медиан);

В случае тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а их продолжения.

\(х2 4- (2у)2 = (а/2)2 2)\)

\(У2 + (2х)2 = (Ь/2)2\)   (теорема Пифагора) =>

\(z2 = (2х)2 + (2у)2 f 5(ж2 + у2) _ а2+Ь2 “ 4 \)=>

\(%z2 - “2+ь2 . [г2= 4(х2+у2)\)

Ответ: \(У/\)

319 .Медианы AM и CN треугольника АВС взаимно перпендикулярны. Найти площадь треугольника АВМ, если ВС = а и АС = b.

320. Медианы ВМ и CN треугольника АВС пересекаются в точке К. Найти расстояние от точки К до прямой ВС, если ВС = α, ZB = β и ZC =γ. 

321. Найти угол С треугольника АВС со сторонами АС = а, ВС=b и медианой СМ=m.

322 . В треугольнике АВС проведены высота ВН и медиана ВМ. Найти cos ZMBH, если АВ = 1 ,ВС = 2 и AM = ВМ. 

323. Найти углы треугольника АВС, если его медиана ВМ равна половине стороны АС, а один из углов, образованных биссектрисой BL и стороной АС, равен 55°.

324 . В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и на боковую сторону, равны тип соответственно. Найти стороны треугольника.

325.  В треугольнике АВС с острыми углами ∠A = α, ∠B = β и стороной АВ = с продолжения высот АН и В К пересекаются в точке D. Найти расстояние от точки D до прямой АВ. 

326 . В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и СК. Найти радиус описанной около тре¬угольника АВС окружности, если НК = 2\/2, а площади треугольников АВС и ВНК равны 18 и 2 соответственно.

327 . В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АН и СК. Найти площадь круга, описанного около треугольника КВН, если АС = 1 и ZKCH = а. 

328. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AL. Найти AL, если BL = Ь и СЬ = с.

329 . В треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Найти cos ZADC, если АВ = 4 и АС = ВС = 12.

330.  В треугольнике АВС проведена биссектриса BD = З\frac{sqrt2}{2}. Найти площадь треугольника, если ВС = 2 и DC = 1. 

331. Найти стороны треугольника АВС, если его биссектриса BL = 4 и медиана AM — 4 перпендикулярны друг другу.

332. В треугольнике АВС периметром 28 биссектрисы AD и BE пересекаются в точке М. Найти АВ, если АВ = BE и ВМ = 2 ME. 

333. Продолжение биссектрисы CD треугольника АВС пересекает описанную около него окружность в точке Е. Найти АС, если АВ = 3, ВС 2 АС и DE = 1.

334. На высоте СН = \/б/3 треугольника АВС со стороной АВ = \/3/2 лежит центр окружности, вписанной в угол В. Найти радиус окружности, если АН : ВН = 2:1. 

335 . На сторонах АВ = 6 и ВС треугольника АВС взяты точки М и N соответственно так, что ВМ = BN. Перпендикуляры к прямым АВ и ВС, опущенные из точек N и М соответственно, пересекаются в точке К, а прямая В К пересекает сторону АС в точке L. Найти BL, если AL = 4 и CL = 5.

336*. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и С в точках М и N соответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две биссектрисы в точках L и К, причем точка К лежит на основании AD. В каком отношении прямая LN делит сторону АВ, а прямая МК — сторону ВС? Найти MN : KL, если LM : KN = 3:7.