Применение тригонометрии

Тригонометрия в геометрических задачах применяется в основном по трем направлениям:

соотношения в прямоугольном треугольнике (см. рис. 3)

а . Ь а ^ Ь ,

- = sm а, - = cos а, — = tg а, - = ctg о; с с о а

теорема синусов для треугольника (см. рис. 2) Ь

sin a sin /3

теорема косинусов для треугольника (см. рис. 2)

а2 = Ь2 4- с2 — 26с cos а.

Одним из важных приложений теоремы косинусов можно счи¬тать равенство параллелограмма: сумма квадратов диагоналей па¬раллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

= 2 Я; В

Пример 1 . В треугольнике даны два угла а, 0 я радиус R описанной окружности.

Найти высоту, опущенную из вершины третьего угла.

Решение.

См. рис. 6: а = 2#sina (теорема синусов) =>

h = a sin (3 — . (из прямоугольного треугольника).

Ответ: 2Rsmasm/3.

Пример 2 . Найти площадь треугольника АВС, если АВ = у/20, ВС = АС + 2 и cos /Л = l/v/5.

Решение. См. рис.7:

(ж 4- 2)2 = ж2 + 20 — 2ху/20 • (теорема косинусов) => ж = 2;

sin LA = yj\ - 1/5 = 2/у/Ъ =ф- SABC = ^ж\/20 sin LA — \ ■ 2 ■ y/20 • — ...

Ответ: 4.

245° . Найти высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом а и радиусом описанной окружности R.

246° . Найти отношение высот треугольника АВС, опущенных из вершин А и В соответственно, если cos LA = = 1/5 и sin LB = 1/2.

247° . В четырехугольнике ABCD углы А и В — прямые, tg LD = 2/3 и ВС = AD/2 = АВ 4- 2. Найти АС.

248° . В четырехугольнике ABCD углы А и С — прямые, АВ = ВС = 3 и BD = 5. На сторонах AD и CD взяты точки EnF соответственно так, что АЕ = 1 и CF = 2. Найти площадь пятиугольника ABCFE.

249 . Одно из оснований равнобедренной трапеции равно 4. Найти расстояние между точками касания с ее боковыми сторонами вписанной в нее окружности радиуса 4.

250* . В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает биссектрисы углов В и D в точках К и L со¬ответственно, а биссектриса угла С пересекает те же биссек¬трисы в точках N и М соответственно. Найти отношение пло¬щади четырехугольника KLMN к площади параллелограмма ABCD, если АВ = 2 и AD = 5.

251 . Найти острые углы прямоугольного треуголь¬ника, если центр вписанной в него окружности делит биссек¬трису прямого угла в отношении у/3 : %/2, считая от вершины.

252*. Найти высоту, биссектрису и медиану, прове¬денные из вершины одного угла треугольника, если они делят этот угол на четыре равные части, а радиус описанной около треугольника окружности равен R.

253°. Найти площадь треугольника, в котором даны сторона а, противолежащий угол а и прилежащий угол 0.

254°. Найти биссектрису прямого угла прямоугольного треугольника с гипотенузой с и острым углом а.

255 . В окружность радиусом R вписан равнобедренный треугольник с углом а при основании. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.

256 . В окружность диаметром 25 вписан равнобедренный треугольник с боковой стороной 20. Найти радиус вписанной в треугольник окружности.

257 . Около треугольника АВС описана окружность с диаметром AD = 2. Найти ВС, если АВ = 1 и /.BAD : /CAD = 4:3.

258 . Окружность радиуса 5 с центром О, лежащим на стороне АВ треугольника АВС, касается сторон АС и ВС. Найти радиус окружности, описанной около треуголь¬ника АВС, если АО = 13 и ВО = 7.

259*. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята такая точка D, что CD = 2 и биссектриса CL треугольника перпендикулярна прямой DL. Найти AL.

194 . Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Найти ВС, если АВ = 8, /С = 60°, DE = 3 и ВС = DC.

195 . На сторонах АВ = 4 и ВС = 5 треугольника АВС с острым углом В взяты точки D и Е соответственно, причем D — середина АВ. Найти DE, если BE = 3, а площадь треугольника АВС больше площади треугольника DBE на 7%/15/4.

262 . На стороне АВ ромба ABCD взята точка N так, что AN : BN = 2:1. Найти tg /DNC, если /А = 7г/3.

263 . В выпуклом четырехугольнике ABCD точки К,Ь,М и N — середины сторон AB,BC,CD и AD соответ¬ственно, а О — точка пересечения отрезков КМ и LN. Найти АС и BD, если КМ = a, LN = Ь и /LOM = ж/3.

264 . Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, относятся как 1 : 3 и пересекаются под углом 60°. Найти меньшую диагональ этого четырехугольника, если ббльшая равна \/ТЗ.

У/ 265*  На стороне АВ треугольника АВС с углами ZA = a, ZB = (3 и высотой АН взята такая точка К, что АК : ВК = 1:2. Через точку К проведена окружность, касающаяся стороны ВС = а в точке Н. Найти радиус этой окружности.

266* . На стороне АС треугольника АВС взята точка М так, что ZABM = 45° и ZCBM = 30°. Найти АС и AM : МС, если АВ = 4 и ВС = 5.

У/ 267* . Биссектриса угла ZC = 60° треугольника АВС равна 5л/3- Найти tg ZA и ВС, если АС : ВС = 5:2. 268* (С — 88.4). Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке М так, что ВМ : МС = 2:1. Найти ZBAD, если ZCAM = а.