1.2. Уравнения и неравенства с модулями 

 Формулы сокращенного умножения*:

(х ± у)^2 = х2 ± 2ху + у2,

(х ± у)^3 = х3 ± Зх2у + Зху2 ± у3,

х^2 - у^2 = (х + у)(х - у),

х^3 ± у^3 = (х ± у)(х2 =F ху 4- у2)

и следующие основные формулы действий со степенями и радикалами2*: ax+v =

axav, ax~v = ax/av, (a1)1' = a1», (ab)x — axbx, (a/b)x = ax/bx,

tfab = Vo Vb, \/a/b = \/a/\/b, V = n

Vo* = (V®)Ii V® = ol^"> \/5?=|a|.

1.1. Задачи на вычисление значении Процедуру вычисления лучше оформлять не по действиям, а в виде цепочки равенств, начинающейся исходным выражением и кончающейся ответом.

1.2. Модуль и знак числа, допустимые значения Решение следующих задач рекомендуется оформлять в виде ло¬гической цепочки равносильных объектов (уравнений, неравенств, систем, совокупностей), начинающейся условием и кончающейся ответом. После любого перехода, в случае необходимости, мож¬но делать пояснения, обосновывающие его правильность. Особенно тщательно нужно следить за изменением ОДЗ6*, добавляя условия, переставшие действовать, в систему с остальными. Система обозначается знаком {, а совокупность — знаком (. Частными проявлениями системы и совокупности следует признать двойное неравенство и, соответственно, знак плюс-минус.

Пример 1 (С — 83.2). Решить уравнение |х2 — 12| = 4.

4* Здесь и ниже исходное и конечное выражение, уравнение, неравен¬ство и т. п. в решении не повторяются, они заменены многоточием (эту манеру не следует перенимать!).

5* Выражение, содержащее буквы, рассматривается только при тех зна¬чениях букв, при которых оно определено, однако выяснять, когда имен¬но это имеет место, без специального на то указания, не требуется. 6*ОДЗ — область допустимых значений (обычно для неизвестной ве¬личины). 19

Решение. ... ■& х2 — 12 = ±4 х2 = 12 ± 4 -<=»■ |х| = \/16, %/8 <=> ... Ответ: х = ±4, ±2\/2-

Пример 2 (х — 93.2). Решить неравенство

7' |±| > 1.

Решение. ...<=> (l~3j~iI+2^ -Ц < 0 <=> а; - 3 < 0 ...

Ответ: х < 3.

8° (С -83.2). |2 — 5а:21 = 3.

9° (А-79.1). \2х - 3| = 3 - 2х.

у/ 10 (р — 01.2). |х2 - 13ж + 35| = {35 — х2\. у/11 (С-96.3). -1 < \х2 - 7| < 29.

12° (гр - 86.2). V8 - Зх2 = 1.

у/ 13° (тг — 01.2). у/х2 — 4 = у/х — 2.

14° {ж — 95.2). V9x2 - 3 > 1.

yj 15° (тг - 87.2). у/2х + 3 < 2.

16° (7 - 96.1). у/9 + 6х > у/2 — х. '

у/17 (А-97.1). у/\х + 1| — 1 > у/\х + 1|-97.

18° (£-85.1). 4ж—1 4 Зх+1 ^ З-

19° (С-86.2). *-1> А'

у/ 20° (А -87.3).

21° (С-87.1). _1_ > _1_ х+2 ^ х—2 '

у/ 22° {а — 97.1).

v/23 (х — 93.1). 9 ъ 1 (хТТТ1 ^А-

24 (А-01.1). I1-3!*2 < о

7) Всюду ниже предполагается, что если в задании фигурирует одно лишь уравнение (неравенство или система), то это уравнение (неравен¬ство или систему) требуется решить. 20