§16. Законы больших чисел.Неравенство Чебышева.
Практические применения теории вероятностей основаны на том, что если вероятность некоторого события близка к I , то "практически достоверно" наступление этого события, а если соответствующая вероятность близка к нулю, то мы можем считать это событие "практически невозможным", естественно, вопрос о том, какую вероятность следует считать малой, а какую нет, следует решать для каждой конкретной ситуации.

Например, если фабрика ,выпускающая пуговицы, допускает 1% брака, то такую вероятность можно считать малой. Но, если такой же процент брака будет,скажем на предприятии, выпускающей парашюты, то его следует признать абсолютно недопустимым.

Таким образом, с точки зрения применения теории вероятностей важно -изучить те случайные явления, вероятности которых близки к нулю или единице. Различного рода теоремы, устанавливающие оценки для вероятностей того или иного явления, зависящего от неограниченного увеличения числа случайных событий)объединяются, обычно , общим термином "закон больших чисел".

I, Неравенство Чебышева.

Если \(x\) -случайная величина, математическое ожидание которой \(M(x)=m\), а - произвольное  положительное число, то

\( P(|x-m|>δ)<\frac{D(x)}{δ^2}\)

\(P(|x-m|<δ)≥1 - \frac{D(x)}{δ^2} \) 

Пример 16.1. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что число нестандартных деталей среди 2000 изделий будет заключено в границах от 72 до 100 включительно?

Как изменить левую границу, чтобы применение  неравенства Чебышева стало возможным? Оценить вероятность того, что число нестандартных изделий будет заключено в исправленных границах.

Решение.

Так как по условию задачи вероятность появления нестандартной детали постоянна и равна  \(p =1 - 0,96=0б04\), то будем предполагать, что выход нестандартных изделий является независимыми событиями и подчиняется , следовательно, биноминальному закону распределения.

Числовые характеристики биноминального распределения равны (см. параграф 14, пример 5)

\(M(x)=m=np=2000 0,04 =80\)

\(D(x)=npq=2000 0,04 0,96 =76,8\)

Из условия задачи следует, что заданные границы числа нестандартных деталей несимметричны относительно \(m= 80\)

Чтобы применить неравенство Чебышева, нужно левую границу изменить с 72 на 60. Тогда

  \(60 ≤  x   ≤ 100\)      ⇔          \(-20  ≤  x-80≤    20\)   ⇔    \(|x-80|≤ 20\)

Подставляя полученные значения в неравенство Чебышева (1), получим

 \(P(|x-80|<20)≥1 - \frac{76,8}{20^2}=1 - 0,192 = 0,808 \)

или

 \(P(|x-80|<20)≥ 0,808 \)

Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли утверждает, что при не ограниченном увеличении числа \(n\) независимых испытаний , частотность /frac{m}{n} появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании \(p\)

\( P(|\frac{m}{n} -p|≤ε) >1 - \frac{pq}{nε^2}\)

где q=1-p .

Пример 16.2. Монету подбрасывают \(1000\) раз. Оценить сверху вероятность отклонения частоты появления орла от вероятности его появления при каждом испытании меньше,  чем на \(0,1\).

Решение. Здесь n =1000, p =q=0,5;  ε=0,1 .

Из (2) получим

\( P(|\frac{m}{1000} - 0,5| < 0,1)\) \( >1 - \frac{0,5 0,5q}{1000 0,01}=\frac{39}{40}\) 

Так как неравенство

\( |\frac{m}{1000} - 0,5| < 0,1\)

равносильно двойному

\( 0,5 - 0,1 < \frac{m}{1000} < 0,1 + 0,5\)

\(400 < m < 600\)

то можно сказать, что вероятность числа появления \(m\) в интервале \((400,600)\) больше \(\frac{39}{40}\) .