Решение задач
11. Асимптотические формулы биноминального распределения.Теория вероятностей.
§11. Асимптотические формулы биноминального распределения.
Вычисление вероятностей по формуле Бернулли
\(P_{n}(m) = C_{n}^m p^m q^{n-m} = \frac{ n!} {m! (n-m)!} p^ m q^{ n-m}\) (1)
приводит к большим вычислительным трудностям при больших n .
Поэтому используются различные асимптотические выражения.
I. Локальная теорема Лапласа.
При больших значениях и. /порядка десятков,сотен/ для биноми-
нального распределения используется формула основанная на локаль¬
ной теореме Лапласа: 1
\begin{equation} P_{n}(m) =\frac{1}{(2π)^{ \frac{1}{2}}σ}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{equation}
(2)
где
\begin{equation} σ =(n p q)^{ \frac{1}{2}} \end{equation}
;
\begin{equation} x = \frac{m-np}{σ} \end{equation}
Пример I. Вероятность рождения мальчика 0,515. Найти вероятность
того, что из 200 новорожденных окажется 95 девочек.
Решение. Необходимо найти вероятность рождения девочек. В этом
случае
p1=1-0,515=0,485; q1 = 1-p1 = 0,515; n=200; m=95
(n p q)(1/2) = (200 0,485 9,515)(1/2) = 7,068;
\begin{equation} x = \frac{m-np}{σ}= \frac{95 - 200·0,485}{7,068} =- 0,283 \end{equation}
С помощью калькулятора находим:
\begin{equation} P_{n}(m) =\frac{1}{(2π)^{ \frac{1}{2}}σ}e^{-\frac{x^2}{2}}; \end{equation}
φ(-0,283)= φ(0,283) = 0,3833
Окончательно:
P200(95) ≅ 0,3833/7,068 = 0,054
2. Формула Пуассона.
Если вероятность р наступления события А в каждом испытании
мала, а число независимых испытаний достаточно велико, но произведе¬
ние \(n·p\) =\(λ\) остается небольшим / не больше 10 /, то вероятность
биноминального распределения можно находить по формуле Пуассона:
\begin{equation} P_{n}(m) =\frac{λ^{m}}{m!}e^{-λ} \end{equation}
(3)
Пример 2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту
она получит точно 2 вызова?
Решение.
Вероятность получения вызова за одну секунду
p = 300/3600 = 1/12
В течение минуты,
т.е. в течение n = 60 ожидается m =2 вызова.
Отсюда λ=n p = 60 ·(1/12)=5
По формуле (3) получим:
\begin{equation} P_{n=60}(m=2) =\frac{5^{2}}{2!}e^{- 5}≅ 0,09 \end{equation}
