§10.Биноминальное распределение вероятностей.Последовательность независимых испытаний.

Важные закономерности теории вероятностей, имеющие непосредственное применение в статистике, связаны с рассмотрением  независимых повторных испытаний.

Например бросается монета. Предыдущее испытание не влияет на последующее. Какова вероятность того , что при 10 бросаний монеты орел появится 3 раза.

Решение дается так называемой формулой Бернулли.

Вероятность появления события А в серии из n независимых испытаний ровно m  раз равна:

\(P_{n}(m) =  C_{n}^m p^m  q^{n-m} =  \frac{ n!} {m! (n-m)!}  p^ m  q^{ n-m}\)

где \(p\) - вероятность появления события \(А\) в каждом испытании, \(q\)- вероятность появления противоположного события.

По формуле Бернулли получаем, что при 10 бросаний монеты, вероятность появления орла 3 раза равна:

 \(P_{n=10}(m=3) = C_{n=10}^{m=3}  p^{m=3}q^{n-m=7} =  C_{10}^{3} p^3 q^ 7=\)

\(= C _{10}^{3} (1/2)3(1/2)7 =\frac{17}{128}\)

Пример 2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле \(р= 2/3\). Проводится 8 выстрелов. Найти вероятности возможных исходов / поражения мишени или промаха /.

Решение. Производится серия из \(8\) независимых испытаний. По формуле Бернулли, вероятность  \(m\) раз поразить мишень при \(n =8\) выстрелах соответственно равны:

\(m\)

\(C_{n}^{m}\)

\(P_{n} (m)\)

0

\(C_{10}^{0} \)

\(P_{n=8} (m=0)=(1/3)8≈0,0002≈0\)

1.

\(C_{8}^{1}\)

\(P_{n=8} (m=1)=8·(2/3)1·(1/3)7≈0,002≈0\)

2

\(C_{8}^{2}\)

 \(P_{n=8} (m=2)=28·(2/3)2·(1/3)6≈0,017\)

3

\(C_{8}^{3}\)

 \(P_{n=8} (m=3)=56·(2/3)3·(1/3)5≈0,068\)

4

\(C_{8}^{4}\)

 \(P_{n=8} (m=4)=70·(2/3)4·(1/3)4≈0,171\)

5

\(C_{8}^{5}\)

\(P_{n=8} (m=5)=56·(2/3)5·(1/3)3≈0,274\)

6

\(C_{8}^{6}\)

 \(P_{n=8} (m=6)=28·(2/3)6(·(1/3)2≈0,274\)

7

\(C_{8}^{7}\)

 \(P_{n=8} (m=7)=8·(2/3)7·(1/3)1≈0,156\)

8

\(C_{8}^{8}\)

\(P_{n=8} (m=8)=(2/3)8·(1/3)0≈0,038\)

Полученные результаты можно представить графически /рис. 10.1/.В прямоугольной системе координат по горизонтальной оси откладываются числа \(i\)  /появление события А /, по вертикальной- значения вероятностей. Концы этих точек соединяются и получается многоугольник распределения.

                                     рис. 10.1

Из рис. 10.1 видно , что при биноминальном распределении вероятностей

существует наивероятнейшее число появления события.

Наивероятнейшее число появления события A в серии n  испытаний находится из двойного неравенства:

\(n·p - q    ≤    m_{0}  ≤     n·p + p\)

Пример. Вероятность попадания стрелка  в цель равна 0,7.

Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий

в цель.

Решение. 

Здесь \(n =  25 ,   p = 0,7 , q=0,3\) .

Следовательно, 

   \(n·p - q    ≤    m0  ≤     n·p + p\)

\(25·0,7 - 0,3    ≤    m0  ≤     25·0,7 + 0,7\)

\(17,2    ≤    m0  ≤   18,2\)

так как     \(m\) - целое число, то  \(m = 18\) .