Решение задач

9.Вероятность гипотез или формула Байеса. Теория вероятностей.

§9. Вероятность гипотез или формула Байеса.

С помощью формулы полной вероятности (I) можно получить так называемую формулу Байеса или вероятность гипотезы.

Предположим опять, что некоторое событие В может наступить с одним и только одним из попарно несовместимых событий

\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\) то есть

\(B=BA_{2}+BA_{3}+...+BA_{n}=\sum\limits_{i=1}^n BA_{i}\) Найти вероятность события А^ при условии, что событие В наступило .

По теореме умножения вероятностей

 

\(P(A_{i}B)=P(B)P(A_{i}/B)=P(A_{i})P(B/A_{i})\)

следовательно

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{P(B)}\)

Учитывая формулу полной вероятности,получим формулу Байеса:

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{\sum\limits_{j=1}^n P(A_{j})P(B/A_{j})}\)

или

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{ P(A_{j})P(B/A_{j}+P(A_{1})P(B/A_{1}+P(A_{2})P(B/A_{2}...+P(A_{n})P(B/A_{n})}\)

 

 

Пример. Рассмотрим пример с лампочками предыдущего параграфа. Допустим, взятая наудачу лампочка оказалась исправной. Какова вероятность того, что она вынута из четвертого ящика?

Решение. По формуле-Байеса получим:

 \(P(A_{4}/B)=\frac{P(A_{4})P(B/A_{4})}{\sum\limits_{j=1}^4 P(A_{j})P(B/A_{j})}=\frac{0,25 · 1}{\frac{17}{24}}=\frac{6}{17}\)

 

Популярные репетиторы:

Рейтинг 5 из 5: 45 отзывов
 
Я грезил собрать во едино два моих основных пристрастий: Математику и Обучение, когда еще учился в аспирантуре, c самого начала своего продвижения по службе.

Высокопрофессиональный математик для студентов и школьников, PhD, педагогический стаж более 16 лет, резкосрочно   подготовит без посредников к вступительному экзамену в институте по математике в 10 класс с помощью негласных ноу-хау по расширению памяти и разгона мышления. Помощь в оформлении доклада.

Некоторое время поработал в онлайн-компании по Spark и Перцептронам. Без усилий программирует на Elexir, C/C++ и R. Участвует в ведущих академических конференциях WSDM, ICCV и SIGIR . Консультирование по математическим пакетам Maple, Mathematica и JupyterLab .

Более 320 учащихся  поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: МГУ, МГТУ, МАИ и ФИ и т.д.. Занятия ведутся Локально в Москве м. Китай-город и по Google Hangout. Опыт репетитора по математике для студентов более 20 лет. 彼は日本語を話します.