Подготовка к олимпиаде по математике

Подготовка к олимпиаде по математике заключается в решении не стандартных задач, направленных на развитие математических способностей.

Чтобы решать олимпиадные задачи необходимо школьнику обладать большим запасом знаний по многим разделам: планиметрии, геометрии, стереометрии, теории чисел, логарифмам, тригонометрическим функциям, производным и др..
Успешная подготовка к олимпиаде по математике заключается не только в овладении многими методами и использованием формул, но в развитии алгебраического и объемного воображения, "открытию мозга" ученика к сложным процедурам и выкладкам.
При подготовке к олимпиаде по математике на занятиях применяются способы улучшения памяти учащегося и вырабатываются навыки креативного подхода.  

В Гонконге с 6 по 16 Июля 2016 проходила 57-я Международная Олимпиада по математике(IMO), в которой приняли участие более 100 стран. Вот задачи первого тура (дня ) с решениями.

Задача 1 (международная олимпиада 2016г.). Дан треугольник BCF с прямым углом при вершине B. Точка A на прямой CF такова, что F A = F B и F лежит между A и C. Точка D выбрана так, что DA = DC и AC — биссектриса угла DAB. Точка E выбрана так, что EA = ED и AD — биссектриса угла EAC. Точка M — середина отрезка CF. Пусть точка X такова, что AMXE — параллелограмм (в котором AM ∥ EX и AE ∥ MX). Докажите, что прямые BD, F X и ME пересекаются в одной точке.

Решение. Разбирается на занятии при подготовке к олимпиаде по математике.

\(KCDA\) - ромб.
Является важным после изготовления чертежа понять, что четырех угольник вписан в окружность 

1)\(\angle FBA=\angle KCF =\alpha\Rightarrow \) четырехугольник \(KCFB\) вписан в окружность \(\omega_1\) с центром в точке \(M\) , на этой же окружности лежит и точка \(D \Rightarrow \angle DBF= \alpha\)

2)\(\angle BMD=\angle BLD =\pi-2\alpha, \angle BAD =2\alpha \Rightarrow \) точки \(B,L,M,D,A\) - лежат на одной окружности \(\omega_2\)

3)\(\angle DBA=2\alpha, \angle DEA =\pi -2 \alpha \Rightarrow \) точка \(E\) лежит на окружности \(\omega _2\) и точки \(B, F, E\) - лежат на одной прямой.

4)\(\angle CAD=\angle ADE =\alpha \Rightarrow CA \parallel DE\)

5)\(\angle MKB= \pi-3 \alpha , \angle BAE=3\alpha \Rightarrow KM \parallel AE\) и точки \(K,M,X\) - лежат на одной прямой.

6)\(\angle MXE=\angle MAE=2\alpha \Rightarrow \) точка \(X\) лежит на окружности \(\omega_1\)

7)\(\angle BXD = \angle BCD= \frac{\pi}{2}-\alpha\), \(\angle XBE=\frac{\pi}{2}-\alpha \Rightarrow \triangle BXE\) - равнобедренный (\(XE=BE\))

8)\(ME-\) высота \(\triangle BXE\), \(\angle DBE=\angle FXE =\alpha \Rightarrow \) прямые \(ME, XF, BD\) пересекаются

в одной точке (центре описанной окружности \(\triangle BXE\)).




Олимпиады в МГУ