Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку М₀ (x₀=-3, y₀=1, z₀=-1) перпендикулярно двум плоскостям Р₁

0*x+1*y-2*z=0

и Р₂

1*x+0*y-5*z-2=0.

Решение:

Предоставим решение задачи 3 с репетитором по высшей математике, линейной алгебре и аналитической геометрии Быстровым Александром Анатольевичем.

Запишем уравнение плоскости, как уравнение. Определитель матрицы, составленной, как показано ниже, равен нулю.

|x - x₀ y - y₀ z -z₀|

| A₁ B₁ C₁ | =0

| A₂ B₂ C₂ |

где коэффициенты A₁ , B₁, C_1, A₂, B₂, C₂ соответственно нормальные векторы плоскостеq Р₁

A₁*x₁+B₁*y₁+C₁*z₁+D=0

и Р₂

A₂*x₁+B₂*y₁+C₂*z₁+D=0 .

У нас эти коэффициенты равны соответственно

A₁ =0, B₁=1 ,C₁=-2 , A₂=1, B₂=-5, C₂= 1.

Запишем уравнение плоскости, как определитель матрицы, составленной, как показано ниже. Этот определитель равен нулю.

|x +3 y - 1 z - (-1) |

| 0 1 -2 | =0

| 1 -5 1 |

Решая определитель матрицы по стандартной методике, получаем уравнение плоскости в виде:

-9x-2y -z - 26=0.

Делаем проверку. Подставляем в уравнение плоскости координаты точки М0

-9*(-3)-2*1 - (-1) - 26=0

27 - 2 +1 - 26=0. Делаем проверку перпендикулярности плоскости, проходящей через точку, двум плоскостям.

Ответ: Уравнение плоскости получаем в виде

-9x-2y -z - 26=0.