Решение задач на пределы

 Ключевые слова: пределы функции примеры решения задач

Далее я,преподаватель высшей математике, предложил "игру" порешать несколько простейших примеров на пределы последовательностей. Давайте в такой записи с пределом, который обозначается, как lim (от греческого limit -конечный или предельный), а под этим обозначением lim следует писать куда его устремить. То есть порядковый номер последовательности N устремляем к конкретному натуральному числу. Например, к числу 5 или 115 или 1045. Можно устремить и к бесконечности. Что такое бесконечность, студент Сергей не смог объяснить преподавателю высшей математике. "Ну, это много"-был его ответ. Да, это большой номер последовательности , ну, очень большой.

Например, 100000 или 10000000. Но если последовательность начинается с номера 99999, то номер миллион уже не будет являться бесконечностью. То есть бесконечность это понятие относительное. Преподаватель высшей математике и репетитор по мат анализу говорят: "Если сравнивать 1 с десятью миллионами, то десять миллионов в сравнении с единицей являются бесконечностью".

Но десять для единицы -не бесконечность.Такое не совсем корректное определение бесконечности , как правило, объясняет суть и студент начинает понимать, что от него хотят. Если внизу под пределом записывают куда устремляют N и пишут стрелку и число, куда предел стремится, то что обозначает запись справа от предела. Например , lim (N+10)/N ?

То есть , что обозначает (N+10)/N ? Интересно для преподавателя высшей математике. Это и есть значение последовательности. Она в данном случае записана , как функция от порядкового номера. Например,Y=(N+10)/N обозначает, что при значениях N=1 значение функции принимает 11, при значениях N=2 значение функции принимает 6, при значениях N=3 значение функции принимает 13/3, и так далее.

Пример 1 . Найти предел последовательности lim (2N+10)/N при N стремящимся к 5. Решение: Предел последовательности lim (2N+10)/N при N стремящимся к 5 равняется 4. Необходимо заменить N на число 5 и найти предел: (2N+10)/N =(2х5+10)/5=4.

Пример 2 . Найти предел последовательности lim (2N+10)/(N+1)при N стремящимся к 2. Решение:

Необходимо заменить N на число 2 и найти предел:(2N+10)/(N+1) =(2х2+10)/(2+1)= =14/3=4,67.

Предел последовательности lim (2N+10)/(N+1)при N стремящимся к 2 равняется 14/3=4,67.

Пример 3 . Найти предел последовательности lim (2N+10)/(N+1)при N стремящимся к 200.

Решение преподавателя по высшей математике :

Необходимо заменить N на число 200 и найти предел:

(2N+10)/(N+1) =(2х200+10)/(200+1)= 410/201=2,04 .

Предел последовательности lim (2N+10)/(N+1)при N стремящимся к 200 равняется 2,04 .

Далее посмотрим зависимость, куда будет стремится предел последовательности Y=lim (2N+10)/(N+1), если увеличивать значение N без ограничения.

Нетрудно найти, что значения такого предела соответственно будут равны:

при N стремящимся к 300 соответственно Y=2,02658

при N стремящимся к 500 соответственно Y(500)=2,01597

при N стремящимся к 800 соответственно Y(800)=2,009987

при N стремящимся к 1000 соответственно Y(1000)=2,00799

при N стремящимся к 2000 соответственно Y(2000)=2,003998

N стремящимся к 10000 соответственно Y(10000)=2,00079992

Можно сделать вывод, что при неограниченном росте N предел Y=lim (2N+10)/(N+1)=2,00000000.

С некоторого числа N много большего 1 значение Y стремиться "сверху" к постоянному значению Y(00)=2,00000000. При чем можно отметить, что с увеличением N разница между Y(N)-2,00000000 стремится к нулю.

Этот пример, данный преподавателем высшей математике, хорошо демонстрирует, что является пределом последовательности.

 Запись на первое занятие с репетитором по математическому анализу