5.3 Свойства и теоремы: касательные, секущие и хорды

Справедливы следующие важные теоремы об окружностях, касательных, секущих и хордах.

1)Свойство касательных:

касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

2)Свойство описанного четырехугольника:

суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны * .

3)Теорема о касательной и секущей:

если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть .

4) Теорема о секущих:

если из одной точки к окружности проведены несколько секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть величина постоянная. 

5)Теорема о пересекающихся хордах:

произведения отрезков каждой из двух пересекающихся хорд равны.

Примечания:

 Под касательной здесь понимается ее отрезок от данной точки до точки касания.

* Верно и обратное: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

** Секущая здесь — это ее отрезок от данной точки до наиболее удаленной точки сечения, а внешняя часть — до ближайшей.

Пример .

На продолжении хорды \(АВ = 5\) взята такая точка С, что ВС = 3. Найти радиус окружности, если ее центр удален от точки С на расстояние 7.

Решение.

См. рис.8:

(7 4- г) • (7 — г) = (5 4- 3) • 3 (теорема о секундах) =►

г2 = 72 - 8 • 3 = 25 =* г = 5. I

Ответ: 5.

269° Две окружности радиусов 2 и 8 касаются друг друга внешним образом в точке А. Общая касательная к ним, проведенная через точку А, пересекает другую общую касательную в точке В. Найти АВ.

270. Окружности радиусов 2 и 3 касаются друг друга внешним образом в точке А. Общая касательная к ним в точке А пересекает в точке В другую общую касательную, касающуюся в точке С меньшей окружности с центром О. Най¬ти радиус окружности, вписанной в четырехугольник О АВС.

271. Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ,ВС и АС в точках К,Ь и М соответ¬ственно. Найти KL, если AM = 2, МС = 3 и Z.C = 7г/3.

272 . Вписанная в треугольник АВС окружность касается сторон АВ = 4 и АС = 3 в точках М и N соответ¬ственно. Найти площадь треугольника AMN, если ВС = 2.

273 . Вписанная в треугольник АВС окружность с центром О касается стороны ВС в точке К. Найти площадь треугольника ВОК, если АС = a, ZАВС = а, а периметр треугольника АВС равен 2р. /

274* (х — 88.4). Вписанная в треугольник АВС окружность касается стороны АВ в точке D. Найти АС, если АС = CD, ВС = 11 и cos Z.A = 1/6.

275 (ж — 01.6). Найти расстояние между центрами вписан¬ной и описанной окружностей прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

276. Найти острые углы прямоугольного треуголь¬ника, в котором радиусы вписанной и описанной окружностей относятся как 2 :5.

277°. Найти площадь четырехугольника ABCD со сторонами АВ = CD = 9, в который можно вписать окруж¬ность радиуса 4.

278 . Площадь равнобедренной трапеции, описан¬ной около окружности, равна 10. Найти боковую сторону тра¬пеции, если один из углов при ее основании равен 45°. 279° . В трапецию с боковыми сторонами 3 и 5 можно вписать окружность. Найти основания трапеции, если средняя линия делит ее площадь в отношении 5:11.

280 . Найти боковую сторону АВ описанной около окружности равнобедренной трапеции ABCD площадью \/3, если ВС : AD = 1:3.

281* . Найти площадь четырехугольника ABCD, описанного около окружности радиуса 2, если АВ = 5, ВС = 6 и ZA = 90°.

282* . Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти радиус окружности, вписанной в треуголь¬ник ВСЕ, если ВС = 1, а углы при основании AD = 4 равны' arctg 2 и arctg 3.

283 . Окружность касается в точках М и N про¬должений сторон АВ = 13 и ВС треугольника АВС за точки А и С. Найти площадь треугольника, если АС =1, а через точки А,С,М и N можно провести окружность.

284* . Найти площадь треугольника АВС с углом ZA = 120°, если его вершины В, С и середины сторон АВ, АС лежат на одной окружности радиуса 7.

285 . Окружность, проходящая через вершины А и С треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точ¬ках D и Е соответственно. Найти ZACB, если СЕ = 1, BE = = CD = 4 и AD : BD = 4:1.

286 . Окружность, проходящая через вершину А треугольника АВС, касается стороны ВС в точке М и пе¬ресекает стороны АВ и АС в точках К и L соответственно. Найти АС : АВ, если КВ : LC = 1 : 2 и СМ : ВМ = 3:2. 287* (<р — 88.4). Окружность, касающаяся сторон AD и CD параллелограмма ABCD, проходит через точку В и пересе¬кает стороны АВ = 8 и ВС в точках Е и F соответственно. Найти AD, если АЕ : BE = 4 : 5 и BF : CF = 8:1.

288* . Окружность, проходящая через вершины А, В к С параллелограмма ABCD со сторонами АВ = 3 и ВС = 5, пересекает прямую BD в точке Е. Найти BD, если BE = 9.

289* . Хорда АВ окружности радиуса R, перпенди¬кулярная ее диаметру CD, пересекает хорду СЕ = а в точ¬ке F. Найти CF, если AF : BF =1:3.