5.2 Основные тригонометрические теоремы для треугольников и параллелограмов

1)Cоотношения в прямоугольном треугольнике (см. рис. 3)

а . Ь а ^ Ь ,

- = sm а, - = cos а, — = tg а, - = ctg о;

с с о а

2)теорема синусов для треугольника (см. рис. 2)

Ь sin a sin /3

3)теорема косинусов для треугольника (см. рис. 2)

а2 = Ь2 4- с2 — 26с cos а.

4)Следствие из теоремы косинусов:равенство параллелограмма:

сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

= 2 Я;

В

Пример 1 . В треугольнике даны два угла а, 0 я ра¬диус R описанной окружности. Найти высоту, опущенную из вер¬шины третьего угла.

Решение. См. рис. 6: а = 2#sina (теорема синусов)

=>

h = a sin (3 — . (из прямоугольного треугольника).

Ответ: 2Rsmasm/3.

Пример 2 .

Найти площадь треугольника АВС, если АВ = у/20, ВС = АС

+ 2 и cos /Л = l/v/5.

Решение. См. рис.7:

(ж 4- 2)2 = ж2 + 20 — 2ху/20 • (теорема косинусов) => ж = 2;

sin LA = yj\ - 1/5 = 2/у/Ъ

=ф- SABC = ^ж\/20 sin LA — \ ■ 2 ■ y/20 • — ...

Ответ: 4.

245°. Найти высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом а и радиусом описанной окружности R.

246° . Найти отношение высот треугольника АВС, опущенных из вершин А и В соответственно, если cos LA = = 1/5 и sin LB = 1/2.