Обработка математики: 100%

14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1 1 C соответственно.а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение 
14.
Все рёбра правильной треугольной призмы A B C A1 B1 C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1  C1 соответственно.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.


Решение. а) Пусть точка H — середина AC .



Пояснения : В части а) используем обратную теорему Пифагора.

В части б) необходимо рассмотреть пирамиду MNA1P и два прямоугольных треугольника, которые являются ее гранями PA1M (с прямым углом P  и углами 30 и 60 градусов) и NPA1 (c прямым углом A1)
Можно показать, что MN=18

Ответ: б) arcsin38

Другая задача №14. Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, АС и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = 2√5, AB = АС = 10, BC = 4√5 .


Решение. Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.
 а) Объем пирамиды равен произведению основания на высоту и разделить на три. Объем пирамиды 
Объем пирамиды SABC
V0=13S0H0
Объем пирамиды FADK 
V1=13S1H1

S0
S1
Из треугольника ABC  AB=AC=10     BG=GC=25
Из подобия треугольников ABC и ADK и равенства AD=BG и AK=KC следует, что
DK=25 
Из теоремы Пифагора находим  высоту основания  ABC AG основной пирамиды SABC и основания   ADK AO пирамиды FADK
H0=AG=80
H1=AG/2=AO=802
 

  Имеем  

Объем пирамиды SABC 

 V0=13S0H0

 Объем пирамиды FADK 
V1=13S04H02

 V0V1=8



репетитор по математике в Москве
                рис.14.2

Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.

б) Из прямоугольного треугольника AFO с катетами FA=5  AO=802
используя теорему Пифагора находим гипотенузу FO=5 .
Из прямоугольного  треугольника AOL следует,
что искомое расстояние AL=2.
Ответ :(от репетитора по математике в Москве)  расстояние до указанной плоскости равно 2.


Задача 14-2 

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 5 √ 2. Точка L - середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен √ 2 .

а) Пусть О - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AO и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

Решение: Пояснения от репетитора по математике ЕГЭ Быстрова Александра.
Трудность этой задачи состоит в том, что трудно найти треугольник , тангенс угла которого составляет  5 √ 2.
Делаем: 1) Строим параллелограм DMNC  DM=NC. 
               2)Продолжаем отрезок AL до AM
                3)Видим , что линия ALN есть диагональ прямоугольника ABNM
                4) Соединяем точки N и C / Получаем треугольник ANC , в котором линия LO -средняя линия. Угол NCA=90град.
                     из знания тангенса  угла 5 √ 2 и AC =5 находим NC= 10/√ 2.
                5) Из треугольника DMO с прямым углом MOD находим искомую высоту МО=5.  Ответ 5. 

Второй способ:

Задача14. Вариант13.

B правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S все ребра которой равны 6, точка М - середина ребра BC, точка О - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

Найдите отношение в котором плоскость СМF делит отрезок SA , считая от вершины S.

Решение: Треугольник ОМF- прямоугольный, т.к. высота SO пирамиды перпендикулярна ее основанию, значит, и любой прямой, проходящей через точку О.

Для ответа на вопрос задачи нужно найти стороны треугольника FMO.

О - центр вписанной (и описанной) в правильный треугольник окружности.

ОМ - радиус вписанной окружности

r=a/(2•√3)⇒

OM=[(6√3):2]:3

После сокращений получаем ОМ=√3

FO= 2/3 SO, т.к. SF:OF=1:2

SO найдем из ⊿ SOB

ВО - радиус описанной окружности и вдвое больше радиуса вписанной окружности:

ВО=2√3

SO=√( SB²-BO² )=√24 ⇒

FO=(√24):3•2 =[√(3•4•2)]:3•2 после сокращений получим

FO=(4√2):√3

tg FMO=FO:OM=(4√2):3, что по таблице соответсвует углу ≈ 62º3'


Найти отношение в котором плоскость СМF делит отрезок SA , считая от вершины S:
рассмотрим треугольник SAM. В нем SO-высота, SA=6, MO=√3, а ОА=2ОМ=2√3.
Можно показать, что в этом треугольнике MFK перпенд. SA

Задача №14.

В правильной четырехугольной призме ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной основания 12 и высотой 21
на ребре AA_1 взята точка М так, что AM=8.
На ребре BB_1 взята точка K так, что B_1К=8.
Найдите угол между плоскостью D_1MK и плоскостью CC_1D_1.




Договориться о первом занятии

Популярные репетиторы:

Рейтинг 5 из 5: 45 отзывов
 
Я грезил собрать вместе два моих основных интересов: Математику, Информатику и Обучение, c самого начала своей карьеры, когда еще учился в аспирантуре.

Компетентный математик для школьников и студентов, PhD, педагогический стаж более 18 лет, стремительными шагами)   подготовит без посредников к вступительному экзамену ЕГЭ по математике на 3 курс с помощью современных ноу-хау по развитию памяти и ускорению мышления. Помощь в оформлении докладов.

Впечатляюще потрудился по науке в стартапе по Machine Learning и Машинному обучению. Участвует в международных академических конференциях ACL, SIGIR и ICCV . Легко программирует на R, Scala и Node. Консультирование по математическим пакетам MathLab, Sage и Maxima .

Занятия проводятся Дистанционно по Viber и  в Москве м. Китай-город. Опыт репетитора по высшей математике для студентов более 20 лет. Более 320 учащихся  поступили «на бюджет» в ВУЗы Москвы: МЭИ, ВШЭ, МГУ и МГТУ и т.д.. 他說中國.

Запись на занятия

Ваше сообщение отправлено