14. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA1 B1 C1 имеют длину 6. Точки M и N — середины рёбер AA1 и A1 1 C соответственно.а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

а) Докажите, что прямые BM и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение. а) Пусть точка H — середина AC .

Пояснения : В части а) используем обратную теорему Пифагора.

В части б) необходимо рассмотреть пирамиду MNA1P и два прямоугольных треугольника, которые являются ее гранями PA1M (с прямым углом P  и углами 30 и 60 градусов) и NPA1 (c прямым углом A1)
Можно показать, что MN=\(\sqrt{18}\)

Ответ: б) \(arcsin \sqrt{\frac{3}{8}}\)

Другая задача №14. Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.

Ребро SA пирамиды SABC перпендикулярно плоскости основания ABC.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер AB, АС и SA, отсекает от пирамиды SABC пирамиду, объём которой в 8 раз меньше объёма пирамиды SABC.

б) Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости, если SA = 2√5, AB = АС = 10, BC = 4√5 .


Решение. Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.
 а) Объем пирамиды равен произведению основания на высоту и разделить на три. Объем пирамиды 
Объем пирамиды \(SABC\)
\(V_{0}=\frac{1}{3}S_{0}H_{0}\)
Объем пирамиды \(FADK\) 
\(V_{1}=\frac{1}{3}S_{1}H_{1}\)

\(S_{0}\)
\(S_{1}\)
Из треугольника ABC  \(AB=AC=10\)     \(BG= GC=2\sqrt{5}\)
Из подобия треугольников \(ABC\) и \(ADK\) и равенства \(AD=BG\) и \(AK=KC\) следует, что
\(DK=2\sqrt{5}\) 
Из теоремы Пифагора находим  высоту основания  ABC \(AG\) основной пирамиды \(SABC\) и основания   ADK \(AO\) пирамиды \(FADK\)
\(H_{0}=AG=\sqrt{80}\)
\(H_{1}=AG/2=AO=\frac{\sqrt{80}}{2}\)
 

  Имеем  

Объем пирамиды \(SABC\) 

 \(V_{0}=\frac{1}{3}S_{0}H_{0}\)

 Объем пирамиды \(FADK\) 
\(V_{1}=\frac{1}{3}\frac{S_{0}}{4}\frac{H_{0}}{2}\)

 \(\frac{V_{0}}{V_{1}}=8\)

                рис.14.2

Репетитор по математике в Москве предлагает объяснение.

б) Из прямоугольного треугольника \(AFO\) с катетами \(FA=\sqrt{5}\)  \(AO=\frac{\sqrt{80}}{2}\)
используя теорему Пифагора находим гипотенузу \(FO=5\) .
Из прямоугольного  треугольника \(AOL\) следует,
что искомое расстояние \(AL=2\).
Ответ :(от репетитора по математике в Москве)  расстояние до указанной плоскости равно 2.

Дана правильная четырехугольная пирамида MABCD с основанием ABCD, стороны основания которой равны 5 √ 2. Точка L - середина ребра MB. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен √ 2 .

а) Пусть О - центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AO и LO перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.

Решение: Пояснения от репетитора по математике ЕГЭ Быстрова Александра.
Трудность этой задачи состоит в том, что трудно найти треугольник , тангенс угла которого составляет  5 √ 2.
Делаем: 1) Строим параллелограм DMNC  DM=NC. 
               2)Продолжаем отрезок AL до AM
                3)Видим , что линия ALN есть диагональ прямоугольника ABNM
                4) Соединяем точки N и C / Получаем треугольник ANC , в котором линия LO -средняя линия. Угол NCA=90град.
                     из знания тангенса  угла 5 √ 2 и AC =5 находим NC= 10/√ 2.
                5) Из треугольника DMO с прямым углом MOD находим искомую высоту МО=5.  Ответ 5. 

Второй способ:

B правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S все ребра которой равны 6, точка М - середина ребра BC, точка О - центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите угол между плоскостью MCF и плоскостью ABC.

Найдите отношение в котором плоскость СМF делит отрезок SA , считая от вершины S.

Решение: Треугольник ОМF- прямоугольный, т.к. высота SO пирамиды перпендикулярна ее основанию, значит, и любой прямой, проходящей через точку О.

Для ответа на вопрос задачи нужно найти стороны треугольника FMO.

О - центр вписанной (и описанной) в правильный треугольник окружности.

ОМ - радиус вписанной окружности

r=a/(2•√3)⇒

OM=[(6√3):2]:3

После сокращений получаем ОМ=√3

FO= 2/3 SO, т.к. SF:OF=1:2

SO найдем из ⊿ SOB

ВО - радиус описанной окружности и вдвое больше радиуса вписанной окружности:

ВО=2√3

SO=√( SB²-BO² )=√24 ⇒

FO=(√24):3•2 =[√(3•4•2)]:3•2 после сокращений получим

FO=(4√2):√3

tg FMO=FO:OM=(4√2):3, что по таблице соответсвует углу ≈ 62º3'


Найти отношение в котором плоскость СМF делит отрезок SA , считая от вершины S:
рассмотрим треугольник SAM. В нем SO-высота, SA=6, MO=√3, а ОА=2ОМ=2√3.
Можно показать, что в этом треугольнике MFK перпенд. SA

Задача №14.

Найдите угол между плоскостью D_1MK и плоскостью CC_1D_1.

Договориться о первом занятии