§7. Условная вероятность. Теорема умножения-вероятностей от репетитора по теории вероятностей Александра Быстрова.

Рассмотрим следующий пример.

Пример от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Найти вероятность некоторого события А, если известно, что. некоторое другое событие В произошло.

Пусть имеется 100 человек, 50 мужчин и 50 женщин, из которых"' курят 30 мужчин и 10 женщин. .Найти вероятность того, что

1. первый встреченный человек будет' курящим,'

2. встреченный человек - курящий мужчина."

Решение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова..

I. Вероятность встретить любого курящего (мужчину или женщину) равна

\(Р(A/B) = (30+10)/100 = 0,4\)

2. Здесь мы должны найти условную вероятность, которая обозна¬ чается как Р (A/B) т.е. вероятность события А при условии., что событие В произошло. В данном случае

\(Р(A/B) = 30/50 = 0,6\)

I. Рассмотрим понятие условной вероятности \(Р(A/B)\) в общем случае

Пусть имеется полная группа попарно несовместимых равновозможных событий: '

\(A_{1}, A_{2},......., A_{n} \)

Предположим, что:

всего возможных исходов \(n\) случаев

событию \(A\) благоприятствует \(m\) случаев

- событию \(В\) ....................... \(k\) случаев

событию \(АВ\) ......................... \(L\) случаев.

Если событие \(В\) наступило, то это означает, что осуществляется один из \(k\) благоприятствующих ему случаев. Тогда событию А при условии,

что событие \(В\) произошло благоприятствует ровно \(L\) случаев, именно те, при которых наступает - событие \(АВ\). Отсюда получаем, что последнее равенство можно переписать в виде теоремы умножения зависимых событий

\(Р(AB) = Р(B)Р(A/B)\)

Меняя местами \(A\) и \(B\), аналогично получаем

\(Р(AB) = Р(A)Р(B/A)\)

2.Определение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Говорят, что событие \(A\) независимо от события \(B\) , если

\(Р(А /В) = P(А)\)

3. Теорема умножения для независимых событий от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова имеет вид:

\(Р(А В) = P(А)P(B)\)

4. Теорема умножения для независимых событий \(A_{1}, A_{2},......., A_{n}\) от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова имеет вид:

\(Р( A_{1} A_{2}... A_{n} ) = P(A_{1})P(A_{2}).... P(A_{n})\)

Пример от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящиrt 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые.

Решение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Событие А - появление белого шара из первого ящика, и событие В - появление белого шара из второго ящика независимы. Поэтому

\(Р(А В) = P(А)P(B)=(2/12)(8/12)= 1/9\)