§7. Условная вероятность. Теорема умножения-вероятностей от репетитора по теории вероятностей Александра Быстрова.

Рассмотрим следующий пример.

Пример от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Найти вероятность некоторого события А, если известно, что. некоторое другое событие В произошло.

Пусть имеется 100 человек, 50 мужчин и 50 женщин, из которых"' курят 30 мужчин и 10 женщин. .Найти вероятность того, что

1. первый встреченный человек будет' курящим,'

2. встреченный человек - курящий мужчина."

Решение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова..

I. Вероятность встретить любого курящего (мужчину или женщину) равна

$Р(A/B) = (30+10)/100 = 0,4$

2. Здесь мы должны найти условную вероятность, которая обозна¬ чается как Р (A/B) т.е. вероятность события А при условии., что событие В произошло. В данном случае

$Р(A/B) = 30/50 = 0,6$

I. Рассмотрим понятие условной вероятности $Р(A/B)$ в общем случае

Пусть имеется полная группа попарно несовместимых равновозможных событий: '

$A_{1}, A_{2},......., A_{n}$

Предположим, что:

всего возможных исходов $n$ случаев

событию $A$ благоприятствует $m$ случаев

- событию $В$ ....................... $k$ случаев

событию $АВ$ ......................... $L$ случаев.

Если событие $В$ наступило, то это означает, что осуществляется один из $k$ благоприятствующих ему случаев. Тогда событию А при условии,

что событие $В$ произошло благоприятствует ровно $L$ случаев, именно те, при которых наступает - событие $АВ$. Отсюда получаем, что последнее равенство можно переписать в виде теоремы умножения зависимых событий

$Р(AB) = Р(B)Р(A/B)$

Меняя местами $A$ и $B$, аналогично получаем

$Р(AB) = Р(A)Р(B/A)$

2.Определение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Говорят, что событие $A$ независимо от события $B$ , если

$Р(А /В) = P(А)$

3. Теорема умножения для независимых событий от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова имеет вид:

$Р(А В) = P(А)P(B)$

4. Теорема умножения для независимых событий $A_{1}, A_{2},......., A_{n}$ от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова имеет вид:

$Р( A_{1} A_{2}... A_{n} ) = P(A_{1})P(A_{2}).... P(A_{n})$

Пример от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящиrt 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара белые.

Решение от репетитора по теории вероятности Александра Быстрова.

Событие А - появление белого шара из первого ящика, и событие В - появление белого шара из второго ящика независимы. Поэтому

$Р(А В) = P(А)P(B)=(2/12)(8/12)= 1/9$