§4. Нахождение параметров распределения по выборочным данным.

Допустим, что случайная величина X, распределена по нормаль¬ному закону,т.е. с плотностью вероятностей: _

и Функцией распределения

где ф(х) - функция Лапласа.

Однако нам неизвестны параметры этого распределения, т.е. матема- матическое ожидание 4 и дисперсия

Й)£эс) = (Г* .

Возникает задача нахождения этих параметров по данным выборки. Значения случайной величины l*i»**».. , * } , являгациося независимыми результатами опыта / в порядке выборки/, можно рассматри¬вать как значения независимых случайных величин, имеющих равные математические ожидания а_ . Для таких случайных величин справедливо ледствие из‘’теоремы Чебышева в виде

(4.1)

при достаточно большом и, 1 . 4

Из \4.1) следует, что вероятность того, что-среднее арифмети¬ческое отклонение от математического ожидания 0L меньше- малой величины £, стремится к I при и -* «о . ч_ , 1 -

Поэтому приближенно' имеем _ 1 ~

Аналогично для' дисперси^:

(4:2)

' ✓ (4.3)

Более точный анализ приводит, к уточненному выражению для диспе

4.4)

Формулы (ч4;3)|(4.4) отличаются величинами и и ЧТО

Пример I. Наблюдение в контрольной лаборатории, за сроком годности 50 электроламп одинаковой мощности,взятых наудачу из большой партии выпущенных заводом ламп этой же^мощности, привело к следующим данным срока горения*

Отклонение в ч. (*.') -30 -20 -10 - 0, 10 20 за Частоты Ц; " 5 6 8 10 9 8 - 4

Требуется -по этим выборочным данным найти параметры нормаль¬ного распределения, которое отражав^ отклонение фактического срока горения лампочек от гарантийного.

Решение. Среднее отклонение

Выборочная'дисперсия ^

Таким образом, искомое нормальное распределение характеризует¬ся следующими значениями параметров:

Отсюда плотность вероятности