Физическая интерпретации последовательности и предела последовательности.

 Ключевые слова:  решение прикладных задач с использованием предела

Задача 1. Допустим завод производит металическую деталь, например, спортивный шагомер, с размером ровно 1 метр. Но поскольку резательный станок обладает погрешностью 0,07 м детали получаются с отклонениями от заданного размера.

Например, если провести выборку 10 деталей и пронумеровать их, то можно обнаружить, что размер длины L детали N будет, например L(1)=1,05;L(2)=1,02;L(3)=0,99;L(4)=1,01;L(5)=0,95;L(6)=1,03;L(7)=1,01;L(8)=0,98;L(9)=0,99;L(10)=1,01;

Если репетитор по мат анализу построит график и по оси X и откложит порядковый номер детали, а по оси Y откладывать длину L, то будет понятно,что это последовательность. Зададимся вопросом: значение 1,00 м будет ли являться пределом данной последовательности?

Ответ будет отрицательным! Даже, если репетитор по мат анализу возьмет выборку 1000 деталей и 10000 деталей. Все значения будут отклоняться от значения 1,00 м произвольно и не будут зависеть от порядкого номера. Нет, число 1,00м -не является пределом данной последовательности. Так как оно не подпадает в мат анализе под определение предела последовательности. Нет такого числа N, начиная с которого разница между значением последовательности и его пределом уменьшалась бы при возрастании N.

В такой выборке из 10 деталей речь может идти о среднем значении размера детали и отклонении среднего значения от некой абсолютной величины 1,00м.

Предел последовательности

О пределе последовательности в данном примере может идти речь, если репетитор по мат анализу расширит условия задачи. Пусть контролер будет брать сначала выбору из Nв= 10 деталей, затем из 100, 200, 300, 400, 500, ... деталей и подсчитывать среднее значение в каждой выборке. Например, в выборке из 10 деталей данной выше среднее значение

Lср(10)=(1,05+1,02+0,99+1,01+0,95+1,03+1,01+0,98+0,99+1,01)/10=1,004

Из теории вероятности известно, что при увеличении количества деталей разница между средним значением и абсолютным значением будет стремиться к нулю. Вот в этом случае репетитор по мат анализу может говорить о пределе последовательности средних значений

Lср(Nв= 10),Lср(Nв= 100), Lср(200), Lср(300), Lср(400), Lср(500), ...

и предел такой последовательности limLср(Nв) при неограниченном возрастании количества выбранных деталей Nв равняется абсолютному значению или для данного примера числу 2,0000.... или

limLср(Nв) =2,000000... при Nв стремящемся к бесконечности.

Разобранный частный пример репетитором по мат анализу демонстрирует не только понятие предела, но и понятие бесконечности, плохо усваиваемое студентами на первом курсе.

 Запись на первое занятие с репетитором по математическому анализу