Задача 3. Найти \(B^{n}\), если известно, что B=

\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix},\(~n\in\mathbb{N}\).

Решение. Как следует из определения степени матрицы:

\begin{gathered}B^{2}= \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!;\\[3pt] B^3=B^2\cdot B= \begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^3&3\lambda^2\lambda\\0&\lambda^3\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Считаем, что \(B^{n}\)= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}$.

Из индукции доказательство этой формулы следует.

Положим n=1 , тогда формула верна. Далее, полагая, что для любого натурального n формула верна, докажем ее справедливость для (n+1). Это следует,

\begin{gathered}B^{n+1}=B^{n}\cdot A= \begin{pmatrix}\lambda^n&n\lambda^{n-1}\\0&\lambda^n\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\lambda^{n+1}&(n+1)\lambda^{n}\\0&\lambda^{n+1}\end{pmatrix}\!.\end{gathered}

Следовательно, что

\begin{gathered}B^{n}= \begin{pmatrix} \lambda^n& n\lambda^{n-1}\\ 0&\lambda^n\end{pmatrix}\end{gathered}

для любого натурального n.