Пропорции, доли, проценты и концентрации. Репетитор по математике ЕГЭ.

Проще всего текстовые задачи решаются по действиям, т.е. путем последовательного нахождения из данных задачи тех или иных числовых значений, вплоть до значения искомой величины. Другой способ — перевод условия задачи на язык уравнений и неравенств с неизвестными величинами.

Пример 1 от репетитор по математике ЕГЭ.

Поле разделено на три участка. За день были вспаханы половина первого участка и три четверти второго, а третий участок, который составляет четверть всего поля, был вспахан полностью. Какая часть поля вспахана за день, если она вдвое больше второго участка?

Решение от репетитор по математике ЕГЭ.

Площадь всего поля примем за единицу, а площадь второго участка —за х, тогда .

\( \frac{1}{2}(1 — х — \frac{1}{4}) + \frac{3}{4}х + \frac{1}{4} = 2х \) 

\(4 — 4х — 1+6x +2 = 16х\)

\(14x= 5\)  

\(2x= \frac{5}{7}\)

Ответ:\(\frac{5}{7}\).

Одной из важнейших' характеристик раствора, сплава и т. п. является концентрация (обычно процентная) — величина, показы¬вающая, какое количество данного вещества содержится в единице смеси.

Пример 2 от репетитор по математике ЕГЭ. .

В траве вода составляет 70% от общей массы, а в сене — 40%. Сколько нужно скосить травы, чтобы по¬лучить 5 т сена?

Решение.

В искомом количестве хт травы и в 5т сена содержится одно и то же количество тонн сухого вещества, равное \((1 -0,7) -х = (1 — 0,4) - 5\) =►

$х =\frac{0,6·5}{0,3}=10.

Ответ: 10т. 

187° . Число 128 представлено в виде суммы четы¬рех слагаемых, относящихся друг к другу, как 2 : 3 : 5 : 6 соответственно. Найти эти слагаемые.
Ответ:16,  24, 40, 48.

 188 . Зимой 9% коренного населения города занято народным промыслом. Летом 28% коренного населения уезжа¬ет из города, но доля занятых промыслом среди оставшейся части остается неизменной, а общая численность населения составляет 80% от прежней за счет приезжающих туристов. Сколько процентов населения летом занято промыслом?
Ответ:8,1%

189 . За последний год численность населения го¬рода уменьшилась на 4%, а число безработных увеличилось на 5%. Сколько процентов от общего числа жителей составляют безработные, если год назад их было 8%?
Ответ:8,75%

190*. Писатели западник и славянофил опубликовали по одной книге, причем второй — тиражом, на 5% большим, чем первый. Количество страниц в книге у западника на 10% меньше, а в среднем на страницу текста буква «ф» у него встречается на 75% чаще, чем у славянофила. В чьем тираже больше букв «ф» и на сколько процентов?
Ответ:Западник, 50%.

191 . Из цистерны в бассейн сначала перелили 50% имевшейся в ней воды, затем еще 100 л и, наконец, еще 5% остатка. В итоге количество воды в бассейне возросло на 31%. Сколько воды было в цистерне вначале, если в бассейне вначале было 2000 л воды? '
Ответ:1000

192* . Саша и Коля дважды обменивались марками, причем каждый раз седьмая часть Сашиных марок обмениваллась на половину Колиных. Сколько марок было вначале у Саши и сколько — у Коли, если у Саши после первого обмена стало 945 марок, а у Коли после второго — 220?
Ответ:1085 и 30.

193° . Если запланированный биржей объем торгов на август увеличить втрое, то суммарный объем торгов в июле и августе возрастет вдвое. Во сколько раз надо увеличить план на июль, оставив неизменным план на август, чтобы суммарный объем торгов возрос втрое?
Ответ:5

194°. С двух полей, первое из которых по площади вдвое меньше второго, собрали урожай свеклы. Средняя урожайность составила 150 ц/га, в то время как на первом поле собрали по 156 ц/га. Какова урожайность на втором поле? 
Ответ:147.

195 . Покупатель приобрел костюм со скидкой 20% и плащ со скидкой 40%, заплатив в сумме за обе покупки 9180 руб, что на 32% меньше их суммарной первоначальной стоимости. Найти первоначальную цену костюма и плаща.
Ответ:5400 и 8100.

196. Брокерская фирма приобрела два пакета ак¬ций, а затем продала их на общую сумму 7 680 тыс. руб, полу¬чив при этом 28% прибыли. За какую сумму фирма приобрела каждый из пакетов акций, если при продаже первого пакета прибыль составила 40%, а при продаже второго — 20%?
Ответ:2400 и 3600.

197 (А—96.6). Вкладчик в начале года часть имевшихся у не¬го денег положил в один банк под 60% годовых, а остальные деньги — в другой банк под 40% годовых. Через два года суммарное количество денег на обоих счетах удвоилось. Ка¬кую часть денег вкладчик положил в первый банк?
Ответ: 1/15.

198* . В банк помещен вклад в размере 3900 руб под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет после начисления процентов на счет дополнительно вносилась одна и та же сумма. К концу пятого года после начисления процентов размер вклада увеличился по сравнению с первона¬чальным на 725%. Какая сумма добавлялась ежегодно?
Ответ:210.

199° . На первом этапе производства дискет содер¬жание кремния в них увеличивается по отношению к преды¬дущему на 25%, на втором — на 20%, на третьем — на 10%, а на четвертом — на 8%. На сколько процентов в итоге уве¬личивается сбдержание кремния?
Ответ:78,2

200° / Руда содержит 40% примесей, а выплавляе¬мый из нее металл — 4%. Сколько металла будет выплавлено из 24 т руды?
Ответ: 15

179.  Из сосуда с 10%-м раствором спирта отлили треть содержимого, долив водой до 5/6 первоначального объ¬ема. Каким стало процентное содержание спирта в сосуде?
Ответ: 50.

180 . К водному раствору кислоты добавили 1 кг во¬ды, отчего его концентрация уменьшилась в 5/3 раза. Во сколь¬ко раз уменьшится концентрация полученного раствора, если добавить к нему 2 кг воды?
Ответ: 4.

203. В результате испарения из раствора 2 кг воды концентрация соли в нем возросла на 0,2, а после добавле- 4 ния к получившемуся раствору 10 кг воды — стала вдвое меньше первоначальной. Найти первоначальную концентрацию соли.
Ответ: 0,6.

204°. Имелось два слитка массой 150 и 250кг, состо¬явших из цинка, меди и олова. Первый слиток содержал 40% олова, второй — 26% меди, а процентное содержание цинка в обоих слитках было одинаково. Сплавив эти слитки, полу¬чили новый слиток, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в новом слитке?
Ответ:170.

205 . Имелось два слитка, содержавших медь. Масса первого слитка была на Зкг больше; чем второго. В первом слитке содержалось 40% меди, а во втором — 10%. Сплавив эти слитки, получили новый слиток, в котором оказалось 30% меди. Определить массу полученного слитка.
Ответ:9.

181 . Сколько литров 3%-го раствора спирта нужно добавить к 1 л 6%-го, чтобы получить 5%-й раствор?
Ответ:17

182 . Сколько литров 0,5%-го и 2%-го растворов уксусной кислоты нужно смешать, чтобы получить 30 л 1,5%-го раствора?
Ответ:9.

208. Смешав 40%-й и 60%-й водные растворы ки¬слоты и добавив 5 кг воды, получили 20%-й раствор. Если бы вместо воды добавили 5 кг 80%-го раствора, то получился бы 70%-й раствор. Сколько смешали 40%-го и 60%-го растворов?
Ответ:1 и 2.

209* . Из сосуда, содержавшего 9 кг водного раство¬ра соли, отлили часть раствора и добавили столько же (по массе) воды, а затем опять отлили столько же раствора. В итоге количество соли в сосуде уменьшилось в 9/4 раза. Найти массу добавленной воды.
Ответ: 3.