5.7. Координаты и векторы

В координатном пространстве расстояние между точками

\(А_{1} = (x_{1},y_{1}, z_{1}) и A_{2} = (x_{2},y_{2}, z_{2})\)

вычисляется по формуле

\(AIA2 = ((x2 -x1)^2+ (y2 - У1)2 + (z2 - z1)^2)^(1/2),\)

длина вектора a = (x,y,z) — по формуле

\(|a| = x^2 + y^2 + z^2;\)

скалярное произведение векторов \( a1 = (x_{1},y_{1}, z_{1}) и a2 = (x_{2},y_{2}, z_{2}) \)равно

a1 • a2 = x1*x2 +y1y2 + z1z2 = |a1| • |a2| - cos(φ )\(,

где \)φ \( — угол между этими векторами.

Уравнение плоскости с нормалью \) п = (а, b, с)\( и уравнение сферы с центром \)(а, b,c) и радиусом R имеют соответственно вид

\(ax + by + cz = d\) и

\((х — а)^2 + (у —b)^2 + (z — c)^2 = R^2.\)

На координатной плоскости действуют аналогичные формулы и аналогичные уравнения прямой и окружности, но с участием только двух из трех координат: х и у.

Пример . Найти площадь фигуры, заданной  системой

\(у ≤ 6 - 2|х|\)

\(у≥3—|x|/2.\)

Решение:

1)\(6 — 2|x| = 3 — |х|/2 \)  |х| = 2 \(<=>

\)х = ±2.\(

2)\)S=2(2 (0,5 (6 - 3) • 2) = 6.\(

Ответ: 6.

 361° . Найти площадь фигуры, заданной системой

\) у≥ -|х| -1\(

\)у ≤ -2|х| + 3.\(

Ответ:16

 362 . Найти площадь фигуры, заданной системой

\)х^2 + у^2 < 9\(

 \)у + 1 ≥ 0\(

\)Зу + 6 ≥ 2|х|\(.

Ответ:9(pi+1)/2 363* (ц — 91.3). Найти площадь фигуры, заданной системой

\){х^2 + у^2≤ 4х — 4у — 6\(

\)х ≥ 1.\( Ответ:1+3pi/2

 364° . Прямая \)у = —2х + 2$ пересекается с прямой у = х и с осью абсцисс в точках А и В соответственно. Най¬ти площадь треугольника АВО, где О — начало координат.

Ответ:1/3

 365*. Прямая у = 4 — (2 — \/3)я пересекает в точках А и В окружность с центром в начале координат и радиусом 4. Найти сумму длин хорды и меньшей дуги АВ.

Ответ: 4(2-(3)^(1/2))^(1/2)+2pi/3

366* . Найти площадь пятиугольника ABCDE, где А = (0; 2), В = (1; 7), С = (10; 7), D = (7; 1), а Е — точка пересечения прямых АС и BD. Ответ:36

367* (р — 01.4). Найти площадь пятиугольника ABCDE, где А = (9; 1), В = (2;0), D = (1;5), Е = (9; 7), а С — точка пересечения прямых BE и AD.

Ответ:33

368*. Эпицентр циклона, движущийся прямолинейно, во время первого измерения находился от метеостанции в 24 км к северу и 5 км к западу, а во время второго — в 20 км к северу и 10/3 км к западу. На каком наименьшем расстоянии от метеостанции пройдет эпицентр?
Решение:
Введем систему координат. Циклон движется по прямой, проходящей через точки, A(x1=-5,y1=24) и B(x2=-10/3,y2=20) . Уравнение прямой
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1).
(y-24)/(20-24)=(x-(-5))/((-10/3)-(-5)).
(y-24)/(-4)=(x+5))/((+5)/3)
(y-24)=(-4)(x+5))/((5)/3)

Получим уравнение прямой: y=(-4)(x+5))/((+5)/3)+24=(-4)x/((+5)/3)+(-4)(5))/((+5)/3)+24=-(12/5)x-12+24=-(12/5)x+12 

Получим уравнение прямой: y=-(12/5)x+12 .

Эта прямая пересекает оси координат в точках A(  0, 12 ) и B(5 ,0 )
A(  0, 12 ) и B(5 ,0 ) (смотри рисунок ниже для похожей задачи)
Кратчайшее расстояние до циклона(смотри рисунок ниже для похожей задачи):
OH=(AOхOB)/AB=60/13
OH=(12х5)/(12^2+5^2)^(1/2)=60/13

Ответ:60/13 км.

369 . Найти координаты точки в пространстве, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек А = (1; 2; 3) и В = (2;3;4). 

Ответ:(15/2 ,0, 0)

370 . Найти уравнение плоскости, проходящей через точку А = (1; 2; 3) перпендикулярно прямой АВ, где В =  (4; 6; 9).

Ответ:3x+4y+6z=29

371 . Найти угол между векторами a = (6; —2; —3) и b = (5;0;0).

Ответ:arccos(3/7)