5.4 Дуги окружности и углы .

Справедливы следующие теоремы об измерении углов дугами окружности. .

221 Параллельные прямые высекают на окружности ранные дуги.

222 Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опи¬рается.

223 Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны5'.

224 Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой6'.

225 Свойство вписанного четырехугольника: суммы противопо¬ложных углов вписанного четырехугольника равны (по 180°)7'.

226 Угол между касательной и хордой, выходящей из точки ка- ■ сания, измеряется половиной дуги, содержащейся внутри угла.

227 Каждый из двух вертикальных углов между пересекающи¬мися хордами измеряется полусуммой двух дуг, на которые они опираются.

228 Угол между секущими измеряется полуразностью двух дуг, на которые он опирается.

' Верно и обратное: если данный отрезок виден под равными углами из двух точек, лежащих по одну сторону от него, то эти точки лежат на одной окружности с концами отрезка.

'И наоборот.

'Верно и обратное: если суммы противоположных углов четырех¬угольника равны, то его можно вписать в окружность.

Пример (Л —98.6). Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются под прямым углом в точке Е. Найти площадь четырехугольника, если AD = 13, ВС = 26 и BE = 10.

Решение. См. рис.9:

Рис. 9

200 AADE ~ АВСЕ (ZC —АВ/2 — ZZ? — вписанные углы);

201 х = 10 • 13/26 = 5 => у = s/\& - 52 = 12 =*> z = 24;

202 SABCD = + г)(10 + у) = i(5 + 24)(10 + 12) = ...

Ответ: 319.

У/ 290° . Прямая, касающаяся окружности в точке К, параллельна хорде АВ = 6. Найти радиус окружности, если АК = Ь.

229 . Диагонали вписанной в окружность трапеции взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции, если ее периметр равен 18, а основания относятся, как 1: 7.

230 . Трапеция ABCD с основаниями ВС = а и AD = b вписана в окружность. Найти радиус окружности, если Z.CAD = а.

293* . Во вписанную трапецию с основаниями 3 и 5 вписана окружность. Найти площадь пятиугольника, образо¬ванного меньшим основанием трапеции, ее боковыми сторо¬нами и перпендикулярными им радиусами окружности.

У 294* . Окружность, проходящая через вершины С и D параллелограмма ABCD, касается прямой AD и пересе¬кает прямую АВ в точках В и Е. Найти АЕ, если AD = 4 и СЕ = 5.

295° . На катете АС = а прямоугольного треуголь¬ника с углом ZB = /3 как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь тре¬угольника СКВ.

296 / Через точку К диаметра АВ окружности про¬ведена хорда MN. Найти АВ, если ZABM = 30°, ZBMK = = 15° и МК = 3.

297* (£ — 98.6). Сторона АВ четырехугольника ABCD слу¬жит диаметром описанной около него окружности радиуса R, а диагонали пересекаются в точке Е. На стороне АВ взята точка F так, что окружность с диаметром BF касается пря¬мой АС в точке Е. Найти площадь четырехугольника ABCD, если ZBAC = а.

298° (а — 00.2). Найти радиус окружности, если вписанный в нее угол, сторонами которого служат хорды длины 1 и 2, опирается на дугу в 120°.

299° (А — 95.7). Диаметр AD окружности, описанной около треугольника АВС, делит угол А пополам. Найти АС : BD, если sin ZC = 1/4.

300* (ж — 96.5). Диагональ BD вписанного в окружность че- тыреугольника ABCD является биссектрисой угла В = 60°. Найти BD, если АВ = 3 и АС = 3\/7-

301 (ж — 85.4). Хорда AD окружности, описанной около рав¬нобедренного треугольника АВС, пересекает его основание ВС в точке Е. Найти АВ, если АЕ = DE = 3.

302* (ж — 00.6). Биссектрисы внутренних углов треугольни¬ка, равных 30°, 60° и 90° соответственно, продолжены до пере¬сечения с описанной около него окружностью. Найти площадь треугольника с вершинами в полученных точках пересечения, если площадь исходного треугольника равна 2.

303 (У/ 304 (а — 98.4). Четырехугольник ABCD вписан в окруж¬ность. Найти АВ, если ВС = 7, CD = 4, cos ZC = 1/2 и sin ZABD = 1/3.

305 (ц — 89.3). Боковая сторона АВ и основание ВС трапе¬ции ABCD касаются окружности, описанной около треуголь- ника ACD. Найти площадь этого треугольника, если AD = 3 и ZB = 120°.

306* (ц — 94.4). Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Прямая, касающаяся в точке Е описанной около тре¬угольника ВСЕ окружности, пересекает в точке F продолже¬ние основания AD = а трапеции за точку D. Найти EF, если DF = Ь.

307* (//—01.3). В трапеции ABCD с боковой стороной CD = = 30 диагонали пересекаются в точке Е, а углы AED и BCD равны. Окружность радиуса 17, проходящая через точки С, D и Е, пересекает основание AD в точке F и касается прямой BF. Найти высоту трапеции и ее основания.

л/ 308* (ц — 97.4). Хорды АС и BD окружности пересекаются в точке Е, а касательная, проходящая через точку В, параллель¬на АС. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АЕ : AD = = 3 : 4, а площадь треугольника BCD равна 16.

У/ 309* (С—93.6). Окружность касается сторон угла с вершиной С в точках А и В. На этой окружности внутри треугольника АВС взята точка М, находящаяся на расстоянии а и Ь от прямых АС и ВС соответственно. Найти расстояние от точки М до прямой АВ.

У/ 310* {ip — 92.3). Диагонали BD и СЕ вписанного в окруж¬ность радиусом 2\/2 пятиугольника ABCDE пересекаются в точке М. Найти площадь треугольника АВС, если ВС || AD, АС || DE, CD || BE и ZBMC = 45°.

311 . Найти угол В остроугольного треугольника АВС с высотой ВН = h, если расстояние между проекциями точки Н на стороны АВ и ВС равно а.

312 . Окружность с центром О, проходящая через вершины В, С и И четырехугольника ABCD, пересекает сто¬роны АВ и AD в точках EviF соответственно. Найти ZABO, если EF = BE, ВС = CD = DF и LA = 90°.

313* . Окружность с центром в точке Я, служащей основанием высоты ВН треугольника АВС, проходит через вершину В и пересекает стороны АВ = а и ВС в точках М и N соответственно. Найти ВС, если МВ = т и NB = п.

314* . На стороне АВ треугольника АВС как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках D и Е соответственно. Прямая DE делит пло¬щадь треугольника пополам и образует с прямой АВ угол в 15°. Найти углы треугольника АВС.

315 . Диаметр АВ окружности параллелен хорде CD. Прямая, касающаяся окружности в точке А, пересекает прямые ВС и BD в точках М и N. Найти АВ, если AM = т и AN = п.

316* . На стороне ВС треугольника АВС взята такая точка D, что ACAD = ЗАВ AD. Отрезок AD пересека¬ется с биссектрисой угла С в точке Е, причем точки C,D и Е принадлежат окружности с центром на стороне АС. Найти cos ААСВ, если АС : АВ = 3:2.

317* . Две окружности пересекаются в точках А и В. Хорда АС = о первой окружности касается второй окружно¬сти, а хорда AD = Ь второй окружности касается первой. Найти ВС, если BD = с.

318* . Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямая, проходящая через точку В, пересекает окружно¬сти в точках С и D по разные стороны от прямой АВ. Каса¬тельные к этим окружностям в точках С и D пересекаются в точке Е. Найти АЕ, если АВ = 10, АС = 16 и AD = 15.