5.6 Задачи по стереометрии

Следующие формулы стереометрии для решения задач ЕГЭ:

1) объем цилиндра и призмы равен

\(V = S_{0} Н,\)

а объем конуса и пирамиды равен

\(V = \frac{1}{3}S_{0}Н\)

где\( S_{0}\) — площадь основания, а \(H\) — высота;

2) площадь боковой поверхности цилиндра и прямой призмы равна

\(S_{b} = Р_{0} Н\),

а площадь боковой поверхности конуса и правильной пирамиды равна

\(S_{b} = \frac{1}{2}Р_{0}L\),

где\( Р0 \)— периметр основания, а \(L\) — образующая конуса или апофема пирамиды;

3) объем описанного многогранника равен

где \(S_{p}\) — площадь полной поверхности многогранника, а \( r \)— радиус вписанного в него шара;

4) площадь сферы и объем шара радиуса \(г \)равны

\(S = 4πR^2\) и \(V =\fac{4}{3}πR^3\).

Пример 1.

В конус вписана сфера, площадь которой равна площади

основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Решение.

См. рис. 13, где изображено сечение, проходящее через ось конуса и центр сферы:

\(4πr^2=4πR^2 \) =»

\( R = 2r\)

=> \(tgα = \frac{r}{R}=\frac{1}{2}\) =>

\(2α= \) ...

Ответ:\( 2arctg\frac{1}{2}\).

 Рис.13.

337° . В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около нее описан другой конус с радиусом основания R. Найти разность объемов этих конусов.

338° . Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найти разность объемов пирамиды и конуса.

339 . Через вершину S конуса проходит плоское сечение SAB площадью 42. Точки А  В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если ∠SAB = arccos (3/√58)-

340 . Найти объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и образует с двумя смежными гранями углы α и β  соответственно.

341 . Найти сторону основания правильной треугольной призмы объемом V, если угол между диагоналями двух ее боковых граней, проведенными из одной вершины, равен а.

342°. Найти сторону основания правильной треугольной пирамиды объемом 36, если ее высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.

343 . Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, я углом р между боковыми ребрами.

344 . Найти двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между ее боковыми ребрами равен \(φ\).

345. В правильной пирамиде SABC проведены биссектриса AL боковой грани SAB и медиана ВМ основания АВС. Найти LM, если АВ = 1 и AS = 2.

346.  На высоте правильной треугольной пирамиды взята точка, удаленная от бокового ребра пирамиды на расстояние 4/√1З и делящая высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найти объем пирамиды, если ее боковые грани наклонены к основанию под углом \(π/6\).

347. Найти высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.

348.  Найти объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом 30°, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.