5.6 Задачи по стереометрии

Следующие формулы стереометрии для решения задач ЕГЭ:

1) объем цилиндра и призмы равен

$V = S_{0} Н,$

а объем конуса и пирамиды равен

$V = \frac{1}{3}S_{0}Н$

где$S_{0}$ — площадь основания, а $H$ — высота;

2) площадь боковой поверхности цилиндра и прямой призмы равна

$S_{b} = Р_{0} Н$,

а площадь боковой поверхности конуса и правильной пирамиды равна

$S_{b} = \frac{1}{2}Р_{0}L$,

где$Р0$— периметр основания, а $L$ — образующая конуса или апофема пирамиды;

3) объем описанного многогранника равен

где $S_{p}$ — площадь полной поверхности многогранника, а $r$— радиус вписанного в него шара;

4) площадь сферы и объем шара радиуса $г$равны

$S = 4πR^2$ и $V =\fac{4}{3}πR^3$.

Пример 1.

В конус вписана сфера, площадь которой равна площади

основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Решение.

См. рис. 13, где изображено сечение, проходящее через ось конуса и центр сферы:

$4πr^2=4πR^2$ =»

$R = 2r$

=> $tgα = \frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ =>

$2α=$ ...

Ответ:$2arctg\frac{1}{2}$.

 Рис.13.

337° . В правильную шестиугольную пирамиду с высотой Н вписан один конус, а около нее описан другой конус с радиусом основания R. Найти разность объемов этих конусов.

338° . Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду. Их общая высота равна 9/4, а радиус вписанной в конус сферы равен 1. Найти разность объемов пирамиды и конуса.

339 . Через вершину S конуса проходит плоское сечение SAB площадью 42. Точки А  В делят длину окружности основания конуса в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если ∠SAB = arccos (3/√58)-

340 . Найти объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна d и образует с двумя смежными гранями углы α и β  соответственно.

341 . Найти сторону основания правильной треугольной призмы объемом V, если угол между диагоналями двух ее боковых граней, проведенными из одной вершины, равен а.

342°. Найти сторону основания правильной треугольной пирамиды объемом 36, если ее высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.

343 . Найти радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды со стороной основания, равной а, я углом р между боковыми ребрами.

344 . Найти двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между ее боковыми ребрами равен $φ$.

345. В правильной пирамиде SABC проведены биссектриса AL боковой грани SAB и медиана ВМ основания АВС. Найти LM, если АВ = 1 и AS = 2.

346.  На высоте правильной треугольной пирамиды взята точка, удаленная от бокового ребра пирамиды на расстояние 4/√1З и делящая высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Найти объем пирамиды, если ее боковые грани наклонены к основанию под углом $π/6$.

347. Найти высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7, 8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.

348.  Найти объем пирамиды, если ее основанием служит прямоугольный треугольник с гипотенузой 3 и углом 30°, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.