4.2. Прогрессии

В арифметической прогрессии ai,a2,.-. каждый следующий член отличается от предыдущего некоторым постоянным слагае¬мым d, называемым разностью, а в геометрической прогрессии2' 61,62,-•• — постоянным множителем q, называемым знаменателем прогрессии. Общий член и сумма п первых членов арифмети¬ческой прогресии вычисляются по формулам

On = Oi + d(n - 1), S„ = 21±2a. nt

а геометрической — по формулам

6» - biqn

sn = (bl^’

[61 п,

Я Ф 1 9 = 1-

Пример (С-96.2).

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15, а сумма третьего и пятого членов равна 22. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение.

S3 = 15 Сз + ®5 = 22

а.1 + d — 5

fti *f 3d =11 Ответ: 2 и 3.

172° . Девятый член арифметической прогрессии в 2 раза больше десятого, а сумма шестого и двенадцатого членов равна 8. Найти первый член и разность прогрессии.

173°. Седьмой член арифметической прогрессии ра¬вен 21, а сумма первых семи членов равна 105. Найти первый член и разность прогрессии.

174 . Шестой член арифметической прогрессии ра¬вен 33, а сумма девятого и одиннадцатого членов равна 98. Найти сумму первых четырнадцати членов прогрессии.

175 . Второй член арифметической прогрессии ра¬вен 2, а сумма пятого и шестого членов равна 9. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии. 2'Согласно определению, в геометрической прогрессии нет нулевых членов!

3)Здесь и далее по поводу чисел, написанных возле системы, см. п.4.1.

' ai+(ai+2d) . 3 — 25 (01 4- 2d) -|- (&i 4- 4d) — 22

-1

1

1

3)

Г 2d = 6

(ai = 5 — d

0

В арифметической прогрессии ai,a2,.-. каждый следующий член отличается от

предыдущего некоторым постоянным слагае¬мым d, называемым разностью, а в

геометрической прогрессии2' 61,62,-•• — постоянным множителем q, называемым знаменате¬лем прогрессии. Общий член и сумма п первых членов арифмети¬ческой прогресии вычисляются по формулам

On = Oi + d(n - 1), S„ = 21±2a. nt

а геометрической — по формулам

6» - biqn

sn = (bl^’

[61 п,

Я Ф 1 9 = 1-

Пример (С-96.2). Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15, а сумма третьего и пятого членов равна 22. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение.

S3 = 15 Сз + ®5 = 22

а.1 + d — 5

fti *f 3d =11 Ответ: 2 и 3.

172° . Девятый член арифметической прогрессии в 2 раза больше десятого, а сумма шестого и двенадцатого членов равна 8. Найти первый член и разность прогрессии.

173°. Седьмой член арифметической прогрессии равен 21, а сумма первых семи членов равна 105. Найти первый член и разность прогрессии.

174 . Шестой член арифметической прогрессии равен 33, а сумма девятого и одиннадцатого членов равна 98. Найти сумму первых четырнадцати членов прогрессии.

175 . Второй член арифметической прогрессии равен 2, а сумма пятого и шестого членов равна 9. Найти сумму первых двадцати членов прогрессии.

2'Согласно определению, в геометрической прогрессии нет нулевых членов! 3)Здесь и далее по поводу чисел, написанных возле системы, см. п.4.1.

' ai+(ai+2d) . 3 — 25 (01 4- 2d) -|- (&i 4- 4d) — 22

-1

1

1

3)

0

Г 2d = 6

(ai = 5 — d

176 . Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии на 3/2 больше, чем сумма первых трех членов, а пятый член равен учетверенному третьему. Найти четвертый член прогрессии, если ее знаменатель положителен.

176 . Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму первых семи ее членов.

177 . Лыжник проходил каждый следующий виток круговой трассы на одно и то же время дольше, чем предыдущий. На второй и четвертый витки он затратил в сумме 3 мин. 20 с. За какое время лыжник прошел первые пять витков?

179 . Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого ее членов равна 10.

 180 . Произведение первого, третьего и одиннадцатого членов геометрической прогрессии равно 8. Найти произведение второго и восьмого ее членов.

181* . Среди первых двадцати пяти членов арифметической прогрессии сумма членов с нечетными номерами на 19 больше, чем с четными. Найти двенадцатый член прогрессии, если ее двадцатый член равен утроенному девятому.

У/ 182 . Разность арифметической прогрессии отлична от нуля, а сумма членов с четвертого по четырнадцатый равна 77. Найти номер того ее члена, который равен 7.

У/ 183* . Четвертый член арифметической прогрессии равен половине второго, который на 36 больше, чем третий член некоторой геометрической прогрессии. Найти пер¬вый член арифметической прогрессии, если он вдвое больше первого члена геометрической прогрессии и впятеро больше второго члена геометрической прогрессии. 184 (е—87.2). В магазине продано 12 т орехов трех сортов по цене 6, 4 и 2 руб/кг на общую сумму 42 тыс. руб. Количества проданных орехов первого, второго и третьего сорта образу¬ют арифметическую прогрессию 4^. Найти эти количества. yj

185*. Найти /(... (/(/(6)))...), где f(x) - ж-|+4. ' V ' П

186* . Найти 7 + 77 + 777 + • • • + 7^7. П )По определению, именно в том порядке, в котором они перечислены.