§9. Вероятность гипотез или формула Байеса.

С помощью формулы полной вероятности (I) можно получить так называемую формулу Байеса или вероятность гипотезы.

Предположим опять, что некоторое событие В может наступить с одним и только одним из попарно несовместимых событий

\(A_{1},A_{2},...,A_{n}\) то есть

\(B=BA_{2}+BA_{3}+...+BA_{n}=\sum\limits_{i=1}^n BA_{i}\) Найти вероятность события А^ при условии, что событие В наступило .

По теореме умножения вероятностей

\(P(A_{i}B)=P(B)P(A_{i}/B)=P(A_{i})P(B/A_{i})\)

следовательно

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{P(B)}\)

Учитывая формулу полной вероятности,получим формулу Байеса:

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{\sum\limits_{j=1}^n P(A_{j})P(B/A_{j})}\)

или

\(P(A_{i}/B)=\frac{P(A_{i})P(B/A_{i})}{ P(A_{j})P(B/A_{j}+P(A_{1})P(B/A_{1}+P(A_{2})P(B/A_{2}...+P(A_{n})P(B/A_{n})}\)

Пример. Рассмотрим пример с лампочками предыдущего параграфа. Допустим, взятая наудачу лампочка оказалась исправной. Какова вероятность того, что она вынута из четвертого ящика?

Решение. По формуле-Байеса получим:

 \(P(A_{4}/B)=\frac{P(A_{4})P(B/A_{4})}{\sum\limits_{j=1}^4 P(A_{j})P(B/A_{j})}=\frac{0,25 · 1}{\frac{17}{24}}=\frac{6}{17}\)