§ 15. Нормальный закон распределения, Функция Лапласа.

Нормальным законом распределения называется закон, плотность распределения вероятностей которого /см.также § 12 / определяется Функцией _ 

  \(p(x) =\frac{2}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2σ^2}}\)

                                                                               (1)

Функция (1) удовлетворяет двум условиям, предъявляемым к плотности распределения вероятностей:

1) \(p(x)>0\)

2) \(\int\limits_{-∞}^{∞}p(x)\,dx =1\)

Закон нормального распределения вероятностей имеет исключительно важное значение. Доказывается /теорема Ляпунова/,что сумма случайных величин \(x_{1},x_{2},...x_{n}\) имеюцих произвольные законы

распределения,при некоторых условиях, имеет распределение, которое стремится к нормальному при n→∞

I, Свойства нормального распределения

а/ Математическое ожидание равно

\(M(x)=\int\limits_{-∞}^{∞}xp(x)\,dx =\frac{2}{\sqrt{2π}}\int\limits_{-∞}^{∞}e^{-\frac{(x-a)^2}{2σ^2}}\,dx=a=m\)

б/ Дисперсия равна

 \(D(x)=\int\limits_{-∞}^{∞}(x-a)^2p(x)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2π}}\int\limits_{-∞}^{∞}(x-a)^2e^{-\frac{(x-a)^2}{2σ^2}}\,dx=a=m\)

Математическое ожидание нормального распределения (1) (\(M(x)=a\))  характеризует центр распределения и максимум вероятности, а дисперсия (\(D(x)=σ^2\)) характеризует остроту максимума /см.рис. 12.3/.

2. Функция Лапласа

Функция 

\(Φ(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}}\int\limits_{0}^{x}e^{-\frac{(t)^2}{2}}\,dx\)

называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Эту функцию называют также функцией ошибок. Для значений функции Лапласа существуют специальные таблицы /см.приложение I /.

а/ 8ероятность попадания значений случайной величины \(x\) распределенной по нормальному закону (1) в интервал \((x_{1},x_{2})\)

определяется через значения функции Лапласа по формуле

  \( P(x_{1}<x<x_{2})=\int\limits_{-∞}^{∞}p(x)\,dx =0,5[Φ(\frac{(x_{2}-a)}{σ\sqrt{2}})-Φ(\frac{(x_{1}-a)}{σ\sqrt{2}})]\) (3)

Пример I.Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием \(a =40\) и дисперсией \(σ^2=200\). Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (30,80).

Решение.

Здесь \(a\) =40, \(σ=\sqrt{200} = 10\sqrt{2},  x_{1}=30 , x_{2}=80\)

Из‘таблиц функции Лапласа, получим

\( P(x_{1}<x<x_{2})=0,5[Φ(\frac{(80-40)}{10\sqrt{2}\sqrt{2}})-Φ(\frac{(30-40)}{10\sqrt{2}\sqrt{2}})]=\) 

\( =0,5[Φ(2)-Φ(-0,5)]=0,5[Φ(2)+Φ(0,5)]=0,5[0,995+0,521]=0,758\) , использовали \(Φ(-x)=Φ(x)\)

б/Для нормального распределения справедлива также формула

 \( P(|x-a|<ε)=0,5Φ(\frac{(ε)}{σ\sqrt{2}})\) 

Пример 2. Считается , что отклонение длины изготовляемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина детали равна \(d=40\) см и

среднеквадратическое отклонение равно  \(σ=0,4\) см ,то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью \(0,8\) ?

Решение.

Требуется найти такое положительное число£#для которого

\( P(|x-40|<ε)=0,8\) 

Так как,

\( P(|x-40|<ε)=Φ(\frac{(ε)}{0,4\sqrt{2}})=Φ(1,77ε)\)

то задача сводится к решению неравенства   \(Φ(1,77ε)>0,8\).

С помощью таблиц /см.приложение I / находим, что \(1,77ε>0,91\) . Отсюда, наименьшее значение \(ε\) , удовлетворяющее этому неравенству, равно \(ε=0,52\).