§2. Классическое и статистическое определение вероятностей.

I. Классическое определение вероятностей.

Пусть событие \(А\) подразделяется на \(m\) частных случаев, входящих в полную группу \(n\) попарно несовместимых и равновероятных событий. Тогда вероятностью события А называется число

\(P(A)= \frac{m}{n}\)

Пример 2.I. Если бросается монета, то имеется два равновероятных случаев: выпадение орла и выпадение решетки. Эти события несовместимы и образуют полную группу / других исходов нет/. Следовательно, вероятности выпадения орла \(А\) и решетки \(В\) равны:

\(P(A)= \frac{1}{2}\)

\(P(B)= \frac{1}{2}\)

Пример 2.2. При бросании игральной кости имеется 6 равновероятных исходов, образующих полную группу попарно несовместимых событий.

Пусть событие \(А\) - выпадение 4. Из \(n\) = 6 равновероятных исходов, число 4 может выпасть \(m\) =1 раз. Следовательно, выроятность выпадения 4 равна:

\(P(A)= \frac{m}{n}=\frac{1}{4}\)

Найдем вероятность выпадения четного числа очков /2,4,6 /.

\(m=3; n=6\)

\(P(A)= \frac{m}{n}=\frac{1}{2} \)

2. Свойства вероятностей.

Непосредственно из определения вероятностей вытекают следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события \(E\) равна ; \(p(E) =1\) .

2. Вероятность невозможного события \(N\) равна 0 ; \(p(N) =0\)

3. Для любого события \(А\):

\(0 ≤ p(A) ≤ 1\) .

4. Если А влечет В, то

\begin{equation} P(A) \leqslant P(B) \end{equation}

5. Вероятность противоположного события А :

\begin{equation} P(\bar{A}) =1-P(A) \end{equation}

3. Статистическое определение вероятностей.

Классическое определение вероятностей основано на знании вариантов исходов данного опыта. Например, бросая монету, возможно два равно вероятных исхода.

Однако, во многих задачах связанных с экономикой использование такого определения вероятностей затруднительно или невозможно. Напри- мер, при обработке статистических данных нет возможности "повторить опыт". Поэтому вводится понятие "статистических вероятностей".

Пусть \(n\) обозначает число "опытов" в отдельной серии испытаний, (например, \(n\) - число рассматриваемых однотипных заводов) и \(m(А)\) число тех из них , в которых осуществляется событие \(А\).

Отношение \(P(A) \sim \frac{m(А)}{n}\) называется частотой события \(А\) в данной серии испытаний. При больших сериях испытаний , то есть при \(n\)→œ , соответствующие частоты практически совпадают, группируясь около некоторого постоянного значения \(P(A)\) , называемого вероятностью события \(A\) :

\begin{equation} P(A) = \frac{m(А)}{n} \end{equation}

В пределе, при \(n\)→\infty , статистическое определение вероятности совпадает с классическим определением:

\begin{equation} P(A) =\lim_{n \to \infty } \frac{m(А)}{n}= \frac{m}{n} \end{equation}

Рассмотрим различия в подходе к определению вероятностей на простом примере бросания монеты.

а/ Классическое определение вероятности выпадения орла /событие

А /. Возможно два равновероятных исхода \(n\)=\(2\). Число событий благо- приятных появлению орла \(m\) =\(1\). Следовательно,

\begin{equation} P(A) = \frac{m}{n}= \frac{1}{2} \end{equation}

б/ Статистическое определение вероятностей.

Проводим серию испытаний по бросанию монеты . 5 испытаний, в которых 100 раз бросаем монету. Результаты приведены в таблице:

Из приведенной таблицы видно, что частоты группируются вокруг числа 0,5. Следовательно, вероятность события 0,5.