§4. Непосредственное вычисление вероятностей.

Задача 4.1 Брошены два игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

\(А\) - на обеих костях выпало одинаковое число очков.

\(С\) - сумма очков четная.

\(D\) - сумма очков больше двух.

Решение. Число исходов, благоприятствующих каждому из событий, легко подсчитать, если все возможные исходы перечислить в виде таблицы. В каждой клетке таблицы первая цифра указывает число очков на первой кости, вторая - на второй.

11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56

61 62 63 64 65 66

Непосредственный подсчет числа исходов по таблице дает: Общее число исходов \(n\) =36.

Для события \(A\):

\(m_{1}=6\),

для \(С\):

\(m_{2}=18\),

\(D\):

\(m_{3}=35\).

Соответствующие вероятности равны:

\(P(A)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{1}{6}\)

\(P(C)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{1}{2}\)

\(P(D)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{35}{36}\)

Задача 4.2 Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3-брако ранных '"наудачу’1 извлекаются три'изделия для контроля. "Найти вероятности следующих событий:

. \(А\) -среди выбранных изделий ровно два бракованных.

\(B\)- выбраны все бракованные изделия.

\(С\) - среди выбранных изделий содержится хотя бы одно бракованное .

Решение. Выбрать любых три изделия из 10 можно, следующим количеством способов:

\(n=C_{10}^3=\frac{10!}{7!3!}=120\)

1. Событию \(А\) благоприятствует те исходы, при которых из 7 изделий-выбирается 1. Эго можно сделать \(C_{7}^1=7\) способами. Выбрать из трех бракованных изделия два можно сделать \(C_{3}^2=3\) способами.

Тогда число благоприятствующих событию \(А\) исходов равно

\(m_{1}=C_{7}^1·C_{3}^2=7· 3=21\)

\(P(A)=\frac{m_{1}}{n}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}\)

2.Событию В благоприятствует \(m_{2}= C_{3}^3 =1\) исходов.

\(P(B)=\frac{m_{2}}{n}=\frac{1}{120}\)

3. Вероятность события \(С\) проще вычислить, определив сначала вероятность противоположного события \(С\) , которое состоит в том, что выбраны все годные изделия. Выбрать три годных изделия из 7 можно \(m_{3}= C_{7}^3 =35\) способами. Поэтому

\(P(\bar{C})=\frac{35}{120} \);

\(P(C)=1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{35}{120}=\frac{2}{3} \)