§6. Теорема сложения -вероятностей.

I . Теорема, Если события' А и В несовместимы, то

\(Р(А+B) = P(A) + P(B)\)

Действительно, пусть всего исходов \(n\)

 событию А благоприятствует          \(k\) исходов

событию В благоприятствует           " L " исходов.

Так как по условию события \(А\) и \(В\) несовместны, то исходов испытаний, благоприятствующих одновременному событию А и В /т.е. АВ/ нет ни одного. Следовательно, число тех исходов, при которых наступает или событие А или событие В /т.е. А + В / равно ,

откуда 

\(Р(А+B) =\frac{k+L}{n}=\frac{k}{n}+\frac{L}{n}= P(A) + P(B)\)/p>

2. Аналогично,если события  \(А_{1},A_{2},...,A_{n}\) несовместимы, то

\(Р(А_{1}+A_{2}+...+A_{n}) = Р(А_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})\)

3. Если события А и В совместны, то

\(Р(А+B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)

Пример 6.1 . В урне,10 белых , 15 черных, 20 синих и 25 крас- ных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что

1. вынутый шар - белый „

2. вынутый' шар синий или красный.

Решение. Имеем всего исходов 

\(n=10+15+20+25=70\)

1. Вероятность вынуть белый шар \(m_{1}=10\)

\(P(B)=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}\)

2. Применяя теорему сложения вероятностей, получим

\(P(C+K)=P(C)+P(K)=\frac{20}{70}+\frac{25}{70}=\frac{9}{14}\)

Пример 6.2. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго- 0,9. Найти вероятность поражения цели / цель считается пораженной при попаданий в неё хотя бы одной из -Двух пуль/.

Решение. Пусть \(А\) и \(B\) - попадание соответственно первого и второго стрелков в цель. Тогда \(С= А + В\) - событие, состоящее в том, что хотя бы один из’стрелков попал в цель. Очевидно, \(А\) и \(В\) независимы , но совместны / так как оба стрелка, независимо друг от друга, могут поразить цель одновременно/. Следовательно

\(P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB) =P(A)+P(B) - P(A)P(B)=\)

\(=0,8+0,9-0,8 0,9=0,98.\)