§8. Формула полной вероятности от репетитора по теории вероятностей Александра Быстрова.

Пусть некоторое событие В может наступить при наступлении одного и только одного события из $n$ , попарно несовместимых событий $A1, A2,......., An$ . Это означает, что

$B=BA_{1}+ BA_{2}+...+BA_{n} = ∑ BA_{i}$ по всем $i$ от $1$ до $n$ ,

причем события $BA_{i}$ и $A_{i}B$ при $i$ не равных $j$ несовместимы.

Тогда по теореме сложения вероятностей:

$P(B)=∑ P(BA_{i} )=P(BA_{1})+P(BA_{2})...+P (BA_{n})= ∑ BA_{i}$

Применяя к последнему равенству формулу умножения вероятностей, получим

$P(B)=∑Р(A_{i} )Р(B/A_{i} )=(A_{1})Р(B/A_{1})+(A_{2} )Р(B/A_{2} )...+(A_{n} )Р(B/A_{n})$ (1)

Равенство (1) называется формулой полной вероятности.

Пример 8.1

Имеется 4 ящика с электрическими лампочками, причем в 1-м ящике 10 исправных и 2 бракованных лампочек /событие А, / во 2-м 5 исправных и 5 бракованных /событие Ад,/

в 3-м 5 исправных и 5 бракованных /событие А3 /

в 4-ом 10 исправных и 0 бракованных /событие А4 /

Наудачу выбирается ящик и из него берется одна лампочка. Какова вероятность вынуть исправную лампочку /событие В /.

Решение.

Вероятность выбрать на удачу ящик равна:

$P(A_{1})=P(A_{2})=P(A_{3})=P(A_{4})=\frac{1}{4}$

Вероятности вынуть исправную лампочку, при условии, что выбран ящик, соответственно равны:

$P(B/A_{1})=\frac{10}{12}=\frac{5}{6};$

$P(B/A_{2})=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$

$P(B/A_{3})=\frac{1}{2};$

$P(B/A_{4})=1;$

Следовательно, вероятность выбрать исправную лампочку по формуле полной вероятности равна:

$P(B)=P(A_{1})P(B/A_{1})+P(A_{2})P(B/A_{2})+P(A_{3})P(B/A_{3})+P(A_{4})P(B/A_{4})=$

$=\frac{1}{4}\frac{5}{6}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\frac{1}{2}+\frac{1}{4} 1=\frac{17}{24}$