Решение задач
8. Формула полной вероятности, Теория вероятностей.
§8. Формула полной вероятности от репетитора по теории вероятностей Александра Быстрова.
Пусть некоторое событие В может наступить при наступлении одного и только одного события из n , попарно несовместимых событий A1,A2,.......,An . Это означает, что
B=BA1+BA2+...+BAn=∑BAi по всем i от 1 до n ,
причем события BAi и AiB при i не равных j несовместимы.
Тогда по теореме сложения вероятностей:
P(B)=∑P(BAi)=P(BA1)+P(BA2)...+P(BAn)=∑BAi
Применяя к последнему равенству формулу умножения вероятностей, получим
P(B)=∑Р(Ai)Р(B/Ai)=(A1)Р(B/A1)+(A2)Р(B/A2)...+(An)Р(B/An) (1)
Равенство (1) называется формулой полной вероятности.
Пример 8.1
Имеется 4 ящика с электрическими лампочками, причем в 1-м ящике 10 исправных и 2 бракованных лампочек /событие А, / во 2-м 5 исправных и 5 бракованных /событие Ад,/
в 3-м 5 исправных и 5 бракованных /событие А3 /
в 4-ом 10 исправных и 0 бракованных /событие А4 /
Наудачу выбирается ящик и из него берется одна лампочка. Какова вероятность вынуть исправную лампочку /событие В /.
Решение.
Вероятность выбрать на удачу ящик равна:
P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=14
Вероятности вынуть исправную лампочку, при условии, что выбран ящик, соответственно равны:
P(B/A1)=1012=56;
P(B/A2)=510=12;
P(B/A3)=12;
P(B/A4)=1;
Следовательно, вероятность выбрать исправную лампочку по формуле полной вероятности равна:
P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)+P(A4)P(B/A4)=
=1456+1412+1412+141=1724